задача Коши дял уравнения теплопроводности

[tetricka12]

$ u_t = u_{xx} +e^t\sin x$
$ u|_{t=0} = \sin x $
Можно решать по Пуассону , но формула громоздкая. Хотелось бы узнать как тут применить метод разделения переменных

[Red_Herring]

Если мы разделим переменные для однородного ур-ния теплопроводности, и отбросим неограниченные функции, то увидим, что есть функция которая по $x$ только и встречается в нашей задаче, а именно $\sin (x)$.

Теперь ищем решения исходной задачи в виде $u=T(t) \sin (x)$ с неизвестной ф-ей $T(t)$, для которой получаем задачу Коши для ОДУ 1-го порядка.

[tetricka12]

$T'(t) = - T(t) + e^t$
правильно ли я понимаю?

[Red_Herring]

tetricka12 в сообщении #905869 писал(а):

$T'(t) = - T(t) + e^t$
правильно ли я понимаю?

А где начальное условие? Так Вы решайте, решайте,… не переспрашивайте на каждом шажке

[tetricka12]

$ T'(t) = - T(t) + e^t $
$ T'(0) = \sin x $

$ T(t) = C e^{-t} + \frac{e^t}{2} $

подставляя начальное условие получаем , что
$ C = \sin x - \frac{1}{2}$


Отсюда получаем , что $ T(t) =(\sin x - \frac{1}{2}) e^{-t} + \frac{e^t}{2} $
Но в ответе другой ответ. И я не могу понять в чем ошибка.
P.s правильный ответ должен быть $\ch t \sin x$

[Red_Herring]

tetricka12 в сообщении #905890 писал(а):

$ T'(0) = \sin x $

Ошибка ($=1$). И Вас интересует в конце дня не $T$, а $u$!

[tetricka12]

Да, точно, $ T'(0) = 1 $ ))) , ну тогда получается что
$ T(t) = \ch t $
ну и отсюда получаем , что $ u = T(t) \sin x = \ch t \sin x$
Все, понял. Оказывается не так сложно и решается.


У меня один вопрос, вот есть еще 1 задача
$u_t = u_{xx} + 3t^2$
$u|_{t=0}= \sin x$
как тут надо будет представить u??
тут ведь не сработает если представить $u = T(t)\sin x$ . Я бы хотел понять , как это все делается.

[Red_Herring]

tetricka12 в сообщении #905904 писал(а):

У меня один вопрос, вот есть еще 1 задача

$u=u_1+u_2$, где $u_1$ решает задачу с нулевыму начальными условиями и тогда $u_1=T_1(t)$, a $u_2$ с нулевой п.ч.

Вообще помните о линейности!

[tetricka12]

обозначу
$u_1 =v$
$u_2 = w$
для простоты
$ v_t=v_{xx} +3t^2 $
$ v|_{t=0} = 0 $
$v = T(t) $
$ T'(t)=3t^2$
$T(t) = c + t^3$
$ T(0) = 0 = c$
$ v=T(t) = t^3$



$w_t = w_{xx}$
$w|_{t=0}=\sin x$
$w= T(t)\sin x$
$T'(t) +T(t) = 0$
$T(t) = c e^{-x}$
$T(0)=1=ce^{-x}$
$ c=1$
$w= T(t)\sin x = e^{-x}\sin x$


$u = v+w$
$u = t^3 +e^{-t}\sin x$




правильно ли я сделал?

[Red_Herring]

Проверьте подстановкой.