Ковариация и корреляция

[andrey_]

Время потраченное студентом на экзамен описывается следующей функцией плотности вероятности

$$f(x)=\begin{cases} 3/8 \cdot x^2,&\text{если $2>x>0$;}\\ 0,&\text{если $x<0$ или $x>2$;}\\ \end{cases}$$

Предположим 3 студента потратили 0 часов (перепутали кабинет), 2 студента справились за 1 час и 1 студент - за 2 часа.

1) Посчитать выборочное среднее $\mu$ и стандартное отклонение $\sigma$ для данной выборки $f(x)$
2) Определить ковариацию и коэффициент корреляции между временем, потраченным на экзамен и количеством студентов, потративших это время.
___________
1) С первым пунктом все более менее понятно

$$\mu = \frac {0+0+0+1+1+2} {6} = \frac 2 3$$

$$\sigma = \sqrt \frac {(2/3)^2+(2/3)^2+(2/3)^2+(1/3)^2+(1/3)^2+(4/3)^2} {6} = \frac {\sqrt 5} {3}$$

2) Дальше я уже не совсем уверен.
X 1 2 3 (студенты) $M[x] = 6/3 = 2$
Y 2 1 0 (часы) $M[y] = 3/3 = 1$

$$cov(x,y)= \frac 1 N \sum (X_k-M[x])(Y_k-M[y])= \frac 1 3 ((1-2)(2-1)+(2-2)(1-1)+(3-2)(0-1)) = \frac {-2}3$$

$$r_{xy} = \frac {cov(x,y)} {\sigma_x \sigma_y} = \frac {cov(x,y)} {\sqrt {\frac 1 N\sum (X_k-M[x])^2 \cdot \frac 1 N\sum (Y_k-M[y])^2}} = \frac {-2/3} {\sqrt{1/3\cdot 2 \cdot 1/3 \cdot 2}}=-1$$

Формулы вроде верные, и ответ корреляция = -1 вписывается в логику - чем больше студентов, тем меньше времени. Но при вычислении второго пункта задания в выборке 3 значения, а в первом случае все шесть. Но если корреляцию считать по 6 значениям выборки, то там везде 0 выйдут.

[--mS--]

Всё верно сделано.

[_hum_]

Примечание. Выборочные характеристики обычно обозначают с добавлением крышечек или звездочек (то есть, не $\sigma$, а $\Hat{\sigma}$ или $\sigma^*$).