Вопрос про нахождение перпендекулярного вектора.

[ewert]

angor6 в сообщении #904782 писал(а):

Суть проблемы в том, что автор вопроса не различает разницу между векторным и скалярным произведениями, по-моему.

А ему и не нужно её различать. Он на данный момент не знает не то что разницы, а просто категорически не хочет знать ничего про векторное произведение вообще. И в определённом смысле правильно делает: необходимости в этом и впрямь нет. У него проблемы не со знаниями (их-то для этой задачки у него достаточно), а с элементарным невладением логикой.

[Munin]

(Оффтоп)

angor6 в сообщении #904782 писал(а):

Суть проблемы в том, что автор вопроса не различает разницу между векторным и скалярным произведениями, по-моему.

О, это не ко мне, это к доктору... другое дело, я не вчитывался.

[ghetto]

ewert

Давайте отодвинемся от того, что я не дружу с логикой. Как бы вы такому человеку об'яснили, что требуется 2 уравнения для определения значения $N$, а не одно?

Munin,

Cross Product тут не нужен. Только Dot Product.

[Aritaborian]

ghetto, твёрже нажимайте мягкий знак ;-D

[arseniiv]

ghetto в сообщении #904825 писал(а):

Как бы вы такому человеку об'яснили, что требуется 2 уравнения для определения значения $N$, а не одно?

Три не хотите?

[Munin]

ghetto в сообщении #904825 писал(а):

Как бы вы такому человеку об'яснили, что требуется 2 уравнения для определения значения $N$, а не одно?

Надо смотреть, чему должно принадлежать $N.$ Одно уравнение задаёт плоскость в 3-мерном пространстве.

(Линейное. Нелинейное уравнение может задавать самые разные штуки, но нелинейное уравнение общего положения - задаёт некоторую 2-мерную поверхность. В т. ч. пустое множество.)

Далее, если мы возьмём 2 уравнения, то получим 2 плоскости, а их пересечение - прямая линия. Если мы возьмём 3 уравнения, то получим 3 плоскости, и их пересечение - точка. (Всё это я подразумеваю для общего положения.) 4 уравнения брать уже опасно - они могут не сойтись.

Вообще, в $n$-мерном пространстве одно линейное уравнение задаёт плоское подпространство размерности $n-1.$ Система из $m$ таких уравнений - задаёт плоское подпространство размерности $n-m,$ если это число $\geqslant 0.$ Довольно просто, по-моему.

[ewert]

ghetto в сообщении #904825 писал(а):

Как бы вы такому человеку об'яснили, что требуется 2 уравнения для определения значения $N$, а не одно?

Боюсь, что уже никак. Особенно с учётом:

ghetto в сообщении #904825 писал(а):

Munin,

Cross Product тут не нужен. Только Dot Product.

Подобная терминология, тем более ничем не спровоцированная -- уже кагбе намекает.

[ghetto]

Munin,

дошло. Ведь любое решение уравнения из 3 переменных - это всего-лишь точка на плоскости.

[ewert]

Невпопад -- тоже характерно.

[ghetto]

ewert в сообщении #904906 писал(а):

Невпопад -- тоже характерно.

Вы видимо хорошо понимаете мои трудности. Могли бы даже снизоити и на пальцах обяснить.

-- 07.09.2014, 04:31 --

arseniiv в сообщении #904830 писал(а):

ghetto в сообщении #904825 писал(а):

Как бы вы такому человеку об'яснили, что требуется 2 уравнения для определения значения $N$, а не одно?

Три не хотите?

Давайте я постарюсь дотянуться до слаааабенькой четверки.


$N = (1, 3, 1)$ (решение $-2a - b + 5c = 0$ ) - это точка на плоскости, а для уравнения $X \cdot N = P \cdot N$ требуется, чтоб $N$ был радиус-вектором. А значит надо решить систему из двух уравнений поскольку множество решений системы, состоящее из более 2 точек, дает прямую.

[angor6]

ghetto в сообщении #904794 писал(а):

angor6,

Согласен. Хотя при чем тут это?

ghetto, при том, что выполненное Вами скалярное умножение заведомо не подходит для нахождения нормального вектора.

[Munin]

ghetto в сообщении #904904 писал(а):

дошло. Ведь любое решение уравнения из 3 переменных - это всего-лишь точка на плоскости. :D

На какой плоскости???

Любое решение уравнения от 3 переменных - это точка в 3-мерном пространстве. И уравнение задаёт много таких решений, значит, много точек. И то, что я писал выше - относится к множествам таких точек - геометрическим местам точек, удовлетворяющих уравнению, на школьном языке.

Примеры (неизвестные везде подчёркнуты):
1) $a\underline{x}+b=0$ - уравнение от одной переменной, решение - одна точка $(-b/a).$
2) $a\underline{x}^2+b\underline{x}+c=0$ - уравнение от одной переменной, решений два - две точки. (Иногда говорят, что решение уравнения - это множество из двух точек, а каждую отдельную точку называют корнем уравнения, это удобнее.)
3) $a\underline{x}+b\underline{y}+c=0$ - уравнение от двух переменных, решений бесконечно много. Например, точка $(-c/a,0)$ является решением, и $(0,-c/b)$ является решением. Если отметить все решения на координатной плоскости, то получится линия (её можно провести по линейке между указанными точками). Это будет прямая линия - именно поэтому и говорят, что такое уравнение задаёт на плоскости прямую линию.
4) $\underline{x}^2+\underline{y}^2-r^2=0$ - ещё одно уравнение от двух переменных. Решений бесконечно много, они образуют окружность. Например, решениями будут точки $(r,0),(0,r),(-r,0),(0,-r)$ - и окружность можно провести по этим точкам. Её радиус будет $r,$ а её центр будет в точке $(0,0)$ - осторожно, этот центр не является решением.
5) $a\underline{x}+b\underline{y}+c\underline{z}+d=0$ - уравнение уже от трёх переменных, решений бесконечно много, они образуют плоскость в 3-мерном пространстве. Эту плоскость можно провести через три точки $(-d/a,0,0),(0,-d/b,0),(0,0,-d/c).$

Заметьте закономерность между примерами 1, 3, 5: каждый раз в $n$-мерном пространстве одно уравнение задаёт подпространство размерности $n-1.$ Это верно и для большего числа измерений.

В курсе аналитической геометрии изучаются, кроме того, ещё и произвольные уравнения второй степени в 2 и 3 измерениях, они дают так называемые квадрики - кривые (на плоскости) и поверхности (в пространстве) второго порядка.

Если теперь мы возьмём систему из двух уравнений, то его решениями тоже будут точки. Поскольку в системе решение должно удовлетворять и первому уравнению, и второму уравнению, то это будут такие точки, которые входят во множество решений и первого, и второго уравнения - то есть, входят в пересечение множеств.

На плоскости: каждое из уравнений задаёт линию. Две линии пересекаются в общем случае в отдельных точках. Поэтому, система уравнений задаёт отдельные точки. Пример:

$$\begin{cases}\underline{x}^2+\underline{y}^2-r^2=0\\a\underline{x}+b\underline{y}=0\end{cases}$$

соответствует пересечению окружности (первое уравнение системы) и прямой (второе уравнение системы, прямая проходит через начало координат). Эта система задаёт две точки: $(\tfrac{rb}{\sqrt{a^2+b^2}},-\tfrac{ra}{\sqrt{a^2+b^2}})$ и $(-\tfrac{rb}{\sqrt{a^2+b^2}},\tfrac{ra}{\sqrt{a^2+b^2}}).$ Это удобно записать в более общем виде $(\pm rb,\mp ra)/\sqrt{a^2+b^2}$ - вынос деления за скобку означает, что обе координаты делятся на одно и то же число (см. операцию умножения вектора на число).

В трёхмерном пространстве: каждое из уравнений задаёт поверхность. Две поверхности пересекаются в общем случае по линии. Поэтому, система из двух уравнений задаёт линии в пространстве. Они могут даже не укладываться в какие-то плоскости, например, линии пересечения двух цилиндров, цилиндра и конуса, цилиндра и сферы. Для частного случая двух плоскостей - линия пересечения будет прямой линией. Теперь, в систему можно добавить третье уравнение, и тогда линия пересечения двух первых поверхностей будет пересечена ещё и третьей поверхностью. И снова получатся отдельные точки.

[arseniiv]

ghetto в сообщении #904911 писал(а):

Давайте я постарюсь дотянуться до слаааабенькой четверки.

Я имел в виду три уравнения (а не два), хотя вектор нормали специфичен и для его нахождения достаточно на одно меньше. (Ваше же «объяснение» распарсить не получается.)

[Munin]

P. S. На самом деле, по внешнему виду уравнения не всегда можно сделать однозначные и правильные выводы. Допустим, у нас есть уравнение $a\underline{x}+b\underline{y}+c=0$ - и мы думаем, что это уравнение от двух переменных, и задаёт оно прямую на плоскости. Но представьте себе, что на самом деле, это уравнение

$$a\underline{x}+b\underline{y}+0\underline{z}+c=0$$

- просто слагаемое $0\underline{z}$ опущено, поскольку не влияет на значение выражения. Тогда получается, что это уравнение - уже уравнение от 3 переменных, и задаёт оно плоскость в 3-мерном пространстве. Эта плоскость в $Oxyz$ возвышается над прямой в $Oxy,$ как здание над фундаментом. Разумеется, точно так же к уравнению можно добавить и сколько угодно других переменных.

Таким образом, вообще говоря, надо отдельно смотреть на само уравнение, и отдельно - на указания и пояснения, от скольки и каких именно переменных это уравнение надо рассматривать. Например, если взять уравнение

$$\underline{a}\,\,\underline{x}+\underline{b}=0,$$

и внезапно решить, что неизвестными в нём являются все три буквы (и ни одна не задана как известный коэффициент), то это уравнение уже оказывается поверхностью в 3-мерном пространстве, причём поверхностью не линейной (плоскостью), а второго порядка (гиперболическим параболоидом).

[ghetto]

angor6,

если $A = (a, b, c), B = (x, y, z)$ и при этом хотя бы два решения $A \cdot B = 0$ перпендикулярны относительно друг друга, то $B$ окажется перпендекулярным самому себе. Так?

Munin,

благодарен за подробно разжеванный ответ.