Интеграл неотрицательной ненулевой функции равен нулю

[blondinko]

ewert, да я-то как раз не нервничаю, в отличие от. О том, что доказательство способно быть неконструктивным, я тоже в курсе.
Однако в данной теме всё это суть офф-топик, не находите? Если бы всё ограничилось двумя-тремя сообщениями — ещё бес с ним.
Но что-то мне подсказывает, что всё это может вылиться в затяжную позиционную войну с финальным салютом из плюсомётов, поэтому воздержусь.

[Lia]

Просьба всем воздержаться от оффтопа и обмена любезностями.

[ewert]

blondinko в сообщении #904302 писал(а):

О том, что доказательство способно быть неконструктивным, я тоже в курсе.

Так у Вас же проблемы вовсе не с конструктивностью, а тривиально с корректностью. С непониманием, что из чего следует, а что наоборот.

blondinko в сообщении #904302 писал(а):

Но что-то мне подсказывает,

А Вы не подсказывайтесь; просто думайте, прежде чем постить.

Что касается Вашей ссылки -- глубоко в неё не вчитывался, но по первому впечатлению скорее прав там именно brukvalub. Ибо он там недоволен использованием аргументации, самой по себе вроде и верной, но откровенно не имеющей отношения к делу; ну и совершенно правильно недоволен.

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #904214 писал(а):

Интереснее попробовать доказать, что интеграл от интегрируемой по Риману положительной во всех точках невырожденного отрезка функции обязательно будет положительным числом.

А это можно доказать совсем на пальцах, без использования меры? (и интеграла Лебега соответственно)

[ShMaxG]

mihaild в сообщении #904350 писал(а):

А это можно доказать совсем на пальцах, без использования меры? (и интеграла Лебега соответственно)

Теорема. Пусть функция $f(x) > 0$ на отрезке $[0,1]$, интегрируемая по Риману. Докажем, что $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}>0$.

Лемма. Пусть $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=0$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ существует отрезок, на котором $f(x) < \varepsilon$.
Доказательство леммы. Предположим противное: существует $\varepsilon_0 > 0$ такой, что на любом отрезке существует точка, в которой $f(x) \ge \varepsilon_0$. Так как интеграл функции равен нулю, то при достаточно мелком разбиении отрезка интегрирования, частичная сумма

$$\sum{f(x_i)\Delta x_i < \varepsilon/2}.$$

Однако, на каждом отрезке разбиения есть точка, в которой функция превышает $\varepsilon_0$. Выбирая $x_i$ в качестве именно таких точек, приходим к противоречию с вышеуказанным неравенством. Таким образом, лемма доказана.

Доказательство теоремы. Предположим противное: т.е. что $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=0$. Выберем $\varepsilon_n = 1/n$, тогда для каждого $n$ существует отрезок, на котором $f(x)<\varepsilon_n$, согласно Лемме. Но таким образом мы имеем систему вложенных отрезков с непустым пересечением -- точкой, в которой необходимо функция $f(x)$ обращается в нуль. Противоречие. Теорема доказана.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #904470 писал(а):

Так как интеграл функции равен нулю, то при достаточно мелком разбиении отрезка интегрирования, частичная сумма

$$\sum{f(x_i)\Delta x_i < \varepsilon/2}.$$

Однако, на каждом отрезке разбиения есть точка, в которой функция превышает $\varepsilon_0$. Выбирая $x_i$ в качестве именно таких точек, приходим к противоречию с вышеуказанным неравенством.

Это всё лишнее: из "на любом отрезке существует точка, в которой $f(x) \ge \varepsilon_0$" уже следует, что существуют сколь угодно мелкие разбиения, интегральные суммы по которым (а с ними и сам интеграл) не меньше $\varepsilon_0$.

ShMaxG в сообщении #904470 писал(а):

для каждого $n$ существует отрезок, на котором $f(x)<\varepsilon_n$, согласно Лемме. Но таким образом мы имеем систему вложенных отрезков с непустым пересечением

Некорректная формулировка. Почему вложенных-то? (т.е. многих слов не хватает)

ShMaxG в сообщении #904470 писал(а):

-- точкой, в которой необходимо функция $f(x)$ обращается в нуль.

Тоже не очень аккуратно: почему необходимо?... (это внешне смотрится как ссылка на непрерывность)

А так вроде всё нормально.

[chislo_avogadro]

Извиняюсь за вопрос непрофессионала. Дельта-функция интегрируема по Риману? Если да, то x$\delta$(x)?


Поправил.

[ewert]

chislo_avogadro в сообщении #904499 писал(а):

Дельта-функция интегрируема по Риману?

Ну поскольку она вообще не функция, то -- нет, конечно.

[mihaild]

Да, действительно можно просто. Спасибо.

chislo_avogadro в сообщении #904499 писал(а):

Извиняюсь за вопрос непрофессионала. Дельта-функция интегрируема по Риману? Если да, то xδ(x)?

Дельта-функция вообще не является функцией $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$, неважно), и потому понятие интегрируемости по Риману к ней неприменимо.

[Lia]

chislo_avogadro
Замечание за неоформление формул.

[Red_Herring]

chislo_avogadro в сообщении #904499 писал(а):

Если да, то xδ(x)?

Как известно в смысле обобщенных функций $x\delta(x)=0$ и следовательно она является обычной функцией, интегрируемой по Риману.

[chislo_avogadro]

Red_Herring в сообщении #904535 писал(а):

$x\delta(x)=0$

Значит, условиям ТС не удовлетворяет. Жаль :)