А это можно доказать совсем на пальцах, без использования меры? (и интеграла Лебега соответственно)
Теорема. Пусть функция

на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, интегрируемая по Риману. Докажем, что

.
Лемма. Пусть

. Тогда для любого

существует отрезок, на котором

.
Доказательство леммы. Предположим противное: существует

такой, что на любом отрезке существует точка, в которой

. Так как интеграл функции равен нулю, то при достаточно мелком разбиении отрезка интегрирования, частичная сумма

Однако, на каждом отрезке разбиения есть точка, в которой функция превышает

. Выбирая

в качестве именно таких точек, приходим к противоречию с вышеуказанным неравенством. Таким образом, лемма доказана.
Доказательство теоремы. Предположим противное: т.е. что

. Выберем

, тогда для каждого

существует отрезок, на котором

, согласно Лемме. Но таким образом мы имеем систему вложенных отрезков с непустым пересечением -- точкой, в которой необходимо функция

обращается в нуль. Противоречие. Теорема доказана.