Минимальные сигма-алгебры

[Dandeliona]

Задача такая, скорее всего, туплю.
$\sigma(\mathcal{A})$ – минимальная $\sigma$-алгебра, порожденная системой множеств $\mathcal A$.
Доказать, что если две системы множеств $\mathcal{A}$ и $\mathcal B$ таковы, что $\mathcal{A}\subset \sigma(\mathcal B)$ и $\mathcal B\subset \sigma(\mathcal {A})$, то $\sigma(\mathcal{A})=\sigma(\mathcal B)$.

Не могу придумать ничего лучше, чем путаный поток сознания про то, что лежать в $\sigma(\mathcal{A})$ – представлять собой результат счетных операций над $\mathcal A$, ну а раз там же лежит $\mathcal B$ и т.д.

Хочется сделать лучше: как из предположения, что есть множество $C$, лежащее в $\sigma(\mathcal {A})$ и не лежащее в $\sigma(\mathcal B)$, получить противоречие с минимальностью?

[Red_Herring]

Dandeliona в сообщении #904045 писал(а):

Хочется сделать лучше: как из предположения, что есть множество $C$, лежащее в $\sigma(\mathcal {A})$ и не лежащее в $\sigma(\mathcal B)$, получить противоречие с минимальностью?

А чем это лучше? Просто формализуйте "путаный поток сознания"

[Oleg Zubelevich]

$\sigma(\mathcal A)$ это пересечение всех $\sigma-$алгебр содержащих $\mathcal A$, поэтому из включения

Dandeliona в сообщении #904045 писал(а):

ы, что $\mathcal{A}\subset \sigma(\mathcal B)$

следует, что $\sigma(\mathcal A)\subseteq \sigma(\mathcal B)$ и наоборот

[Dandeliona]

Oleg Zubelevich в сообщении #904078 писал(а):

$\sigma(\mathcal A)$ это пересечение всех $\sigma-$алгебр содержащих $\mathcal A$, поэтому из включения

Dandeliona в сообщении #904045 писал(а):

ы, что $\mathcal{A}\subset \sigma(\mathcal B)$

следует, что $\sigma(\mathcal A)\subseteq \sigma(\mathcal B)$ и наоборот

Спасибо! Так и знала, что туплю.