МТ с Оракулом остановки (почему не противоречива) ?

[shkolnik]

Одно из доказательств неразрешимости проблемы остановки (ПО) звучит так:
Все алгоритмы в Тьюринг- полном языке лексикографически и нумеруются.
Предполагается, от противного, что существует алгоритм, который, получая на вход номер алгоритма $N$ и входную строку $S$, останавливается, если алгоритм с номером $N$ не останавливается на входной строке $S$ и, наоборот, не останавливается, если алгоритм под номером $N$ останавливается на входной строке $S$. Далее этому алгоритму подают на вход собственный номер и текст, после чего следует противоречие вида: алгоритм останавливается, если не останавливается и не останавливается, если останавливается. Далее делается вывод о противоречивости алгоритма с таким свойством.

Почему машина Тьюринга (МТ) с Оракулом, решающим ПО не подпадает по действие теоремы о неразрешимости ПО ?

Предполагаемые попытки решения:
МТ с Оракулами остановки нельзя занумеровать ?
МТ с Оракулом остановки, помимо решения ПО может распознать собственный номер и текст (допустим, текст может, но номер-то как) ?

[Someone]

Видимо потому, что Оракул — не алгоритм. Поэтому и "алгоритм с Оракулом" — не алгоритм.

[Xaositect]

А почему не подпадает? Все подпадает.

Для краткости "машина Тьюринга без оракула" будем сокращать как МТ, "машина Тьюринга с оракулом для проблемы остановки МТ" - МТО.

Соответственно, если в доказательстве заменить МТ на МТО, то получится, что не существует МТО, решающей проблему остановки для МТО. Все хорошо. МТО умеют решать проблему остановки для МТ, но не умеют решать проблему остановки для МТО.

[shkolnik]

Ясно, опять иерархия, теперь, Оракулов.
Все-таки МТО - это алгоритм ?

[Xaositect]

shkolnik в сообщении #904170 писал(а):

Все-таки МТО - это алгоритм ?

Нет.

[shkolnik]

Подумав, я решил, что любую МТ (алгоритм) следует считать частным случаем Оракула. Нулевого уровня, что ли. А теорему о ПО следует формулировать по отношению к Оракулам, а не МТ.
Допустим, мы еще не открыли отрицательных чисел (или комплексных, или еще чего-то) и строим МТ, которая выдает число, вычисляя разность пары натуральных чисел $(a,b)$ (или квадратный корень из них или еще что-нибудь).
Если $b>a$ МТ "зацикливается", т.к. результат невычислим в натуральных числах.
Строим МТО, Оракул которой выдает не натуральное число, а МТ его использует, чтобы выдать ответ и не "зациклиться".
Т.е. вопрос о конкретной реализации функции МТ на конкретной ячейке с конкретным внутренним состоянием головки не очень-то связан с алгоритмичностью самой МТ. Эта функция может быть записана элементарным действием в ТП вроде вычесть $b$ из $a$ или быть очень не элементарным действием, вроде функции выбора, но МТ или МТО останется алгоритмом, в смысле некоторым Оракулом какого-то уровня.