Сигма- символика

[fronnya]

На практическом занятии по матану рассматривали такой вот пример: $\sum\limits_{k=0}^n(a_{k+1}-a_k)$
Решили привести $a_{k+1}$ к индексу $k$: $\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k- \sum\limits_{k=0}^n a_k$ Ясно, что в первом множестве есть элементы, которых нет во втором, а во втором есть элементы, которых нету в первом, ну вот выписываем их отдельно и вот, что получается: $\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k- \sum\limits_{k=0}^n a_k=a_{n+1}- a_0 +\sum\limits_{k=0}^n a_k-\sum\limits_{k=0}^n a_k= a_{n+1}- a_0$ Ну и препод конечно сказал нам, что эта формула полезная :

$$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}- a_0 }$$

. Так вот, используя эту формулу, нужно теперь посчитать $\sum\limits_{k=0}^n ((k+1)^2-k^2)$ Как мне использовать выведенную формулу? Я могу попробовать посчитать без этой формулы, но у меня не выходит что-то: $\sum\limits_{k=0}^n (k+1)^2-k^2= \sum\limits_{k=0}^n (2k+1)= \sum\limits_{k=0}^n 2k + \sum\limits_{k=0}^n 1= \sum\limits_{k=0}^n 1+ 2\sum\limits_{k=0}^n k.$ Ясно, что $\sum\limits_{k=0}^n 1= n$ $\sum\limits_{k=0}^n k$- это арифметическая прогрессия и $\sum\limits_{k=0}^n k= \frac{1}{2} (0+n)(n+1)$ Собирая все воедино, получаю $\sum\limits_{k=0}^n ((k+1)^2-k^2)= n^2+2n$, что, конечно же, неправильно. Где моя ошибка?

[arseniiv]

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

$$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n(a_{k+1}+a_k)=a_{n+1}- a_0 }$$

Внутри суммы должен быть минус.

[Otta]

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

$\sum\limits_{k=0}^n 1= n$

[fronnya]

arseniiv в сообщении #903954 писал(а):

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

$$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n(a_{k+1}+a_k)=a_{n+1}- a_0 }$$

Внутри суммы должен быть минус.

Точно, опечатался

[arseniiv]

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

Так вот, используя эту формулу, нужно теперь посчитать $\sum\limits_{k=0}^n ((k+1)^2-k^2)$ Как мне использовать выведенную формулу?

$a_k = k^2.$

[fronnya]

arseniiv в сообщении #903960 писал(а):

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

Так вот, используя эту формулу, нужно теперь посчитать $\sum\limits_{k=0}^n ((k+1)^2-k^2)$ Как мне использовать выведенную формулу?

$a_k = k^2.$

Я не понимаю

-- 04.09.2014, 20:22 --

А, ну да вроде.

[Munin]

fronnya
Вы знакомы в программировании с циклом for?

[fronnya]

Munin в сообщении #903964 писал(а):

fronnya
Вы знакомы в программировании с циклом for?

Знаком, но мне нужно это подсчитать именно руками, используя формулу, либо вторым способом.

-- 04.09.2014, 20:38 --

Munin, а можно ли сделать так: $\sum\limits_{k=0}^n (k+1)^2- \sum\limits_{k=0}^n k^2= \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2- \sum\limits_{k=0}^n k^2= (n+1)^2$?

[Someone]

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

Где моя ошибка?

Вам же указали:

Otta в сообщении #903956 писал(а):

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

$\sum\limits_{k=0}^n 1= n$

fronnya в сообщении #903952 писал(а):

Так вот, используя эту формулу, нужно теперь посчитать $\sum\limits_{k=0}^n ((k+1)^2-k^2)$ Как мне использовать выведенную формулу?

Вам опять же намекали:

arseniiv в сообщении #903960 писал(а):

$a_k = k^2.$

Формула используется самым простым способом: подстановкой в неё значений всех величин. И в левую часть формулы, и в правую.

[arseniiv]

fronnya в сообщении #903966 писал(а):

а можно ли сделать так: $\sum\limits_{k=0}^n (k+1)^2- \sum\limits_{k=0}^n k^2= \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2- \sum\limits_{k=0}^n k^2= (n+1)^2$?

Да, тоже можно.

[fronnya]

Ну ок, как тогда просуммировать $\sum\limits_{k=0}^n k^2$?

[arseniiv]

Вы про способ, использующий формулу в рамочке? А там суммировать же не надо.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #903994 писал(а):

Вы про способ, использующий формулу в рамочке? А там суммировать же не надо.

Ну даже не про тот способ, который в рамочке, а так просто. Как- нибудь.

[arseniiv]

nnosipov в сообщении #903229 писал(а):

По-разному можно. Во-первых, можно попробовать угадать ответ, экспериментируя с конкретными значениями $n$, а потом доказать угаданную формулу индукцией по $n$. Как угадывать? Вы уже догадываетесь, что сумма первых $n$ членов любой арифметической прогрессии представляет собой некое выражение 2-й степени от $n$. Попробуйте предположить, что в случае с Вашей последовательностью ответом будет выражение от $n$ степени (какой, как Вы думаете?), потом подберите подходящие коэффициенты, т.е. так, чтобы формула давала правильные значения при нескольких первых значениях $n$. Во-вторых, есть некий общий способ, который позволяет подсчитать не только сумму квадратов, но и кубов, четвёртых степеней и т.д. Эта тема не раз обсуждалась здесь на форуме, попробуйте поискать.

Эти и те другие способы упоминаются, в частности, в Кнут, Грэхэм, Паташник «Конкретная математика».

[Munin]

fronnya в сообщении #903966 писал(а):

Знаком, но мне нужно это подсчитать именно руками

Я не предлагаю программировать подсчёт суммы. Я предлагаю вам провести в голове аналогию между тем и другим. И если у вас есть опыт программирования, если вы умеете пользоваться циклом for, и не путаться в его начальных и конечных значениях, то всё это напрямую переносится на знаки $\sum_{i=j}^k,$   $\prod_{i=j}^k$ и им подобные.

Классическая задача на цикл for - "задача подсчёта столбов в заборе". Забор состоит из столбов и досок между ними. Одна доска - 1 метр. Сколько столбов нужно для забора длиной 6 метров?
Усложнение. Доска весит 10 килограммов, столб - 50 килограммов. Сколько весит весь забор?
И задача с подковыркой. Двухтомник Вайнберга "Квантовая теория поля" стоит на полке, червяк проел его с первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Толщина страниц в каждом томе 2 см, толщина обложки 1 мм, сколько всего миллиметров проел червяк?

-- 05.09.2014 00:39:11 --

fronnya в сообщении #903993 писал(а):

Ну ок, как тогда просуммировать $\sum\limits_{k=0}^n k^2$?

Для таких сумм (вида $\sum_{k=0}^n k^m$) используется хитрый приём, который проще всего продемонстрировать на степенях $m=0,1.$

$m=0\colon$ Возьмём клетчатую бумагу, и каждому члену суммы $k^0=1$ поставим в соответствие один квадратик. Сложим их все вместе последовательно, получим полоску длиной <...>. Это и будет искомая сумма.

$m=1\colon$ Возьмём клетчатую бумагу, и каждому члену суммы $k^1=k$ поставим в соответствие полоску $1\times k$ квадратиков. Сложим их все вместе последовательно, получим ступенчатый треугольник. Добавим к нему второй такой треугольник, и несколько квадратиков на диагонали, и получим квадрат со стороной <...>. Таким образом, искомая сумма, умноженная на 2, плюс ещё сколько-то квадратиков, будет равно целому квадрату. Вычитая диагональные квадратики, и деля результат на два, получим исходную сумму.

Для других натуральных $m$ идея та же самая, но подразумевает многомерные квадратики, и кроме того, использует результаты меньших $m$ по рекурсии. Но со случаем $m=2,$ по крайней мере, легко разобраться.