трехмерное нормальное распределение

[zuj]

День добрый!

Вообщем стал искать про многомерное нормальное распределение и везде какими-то кусками написано или общеизвестные факты ... типа формул и т.д.

Далее я напишу то что понял из найденного материала если что-то не так поправьте меня.

Как известно формула для рассчета многомерного нормального распределения выглядит следующим образом:
$f(x_1,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac n2}|\Sigma|^{\frac12}}e^{-\frac12 (x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)},$
где $\mu$ - вектор средних значений, $x$ - вектор переменных и $\Sigma$ - матрица ковариации.

Далее по поводу матрицы ковариации (ошраничимся трехмерным случаем) ... насколько я понимаю собственные вектора этой матрицы показывают ориентацию гиперэллипоида в пространстве, т.е. куда направлены его полуоси.
Корни из собственных значений будут $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ и будут стандартными отклонениями по трем осям.

До этого момента я написал то что мне удалось узнать и более менее понять ...
Теперь вопрос.
Представим, что у меня есть какая-то выборка от трех неизвестных, на ее основе я рассчитал нужные величины, построил тот самый эллипсоид ... и теперь меня интересует как взяв произвольную точку из простравнства $M(x_0,y_0,z_0)$ посчитать для нее вероятность, т.е. в какой из вероятностных эллипсоидов она попадет. Рассчитать коэффициент $k$ при $k\sigma_x, k\sigma_y, k\sigma_z$, т.к. $k=1$ соответствует 68%, достаточно не сложно используя некоторые методы из аналитической геометрии.
Я догадываюсь, что придется считать тройной интеграл, но по какой области его брать в этом то и состоит мой вопроси нельзя ли это сделать как то полегче.

Заранее благодарен за любые комментарии.

[PAV]

zuj писал(а):

Как известно формула для рассчета многомерного нормального распределения выглядит следующим образом:

Это только для невырожденного случая, когда отсутствуют линейные зависимости между компонентами.

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

$f$ - это плотность распределения.

Для точки $M$ нет понятия "вероятность", вероятность любой точки равна нулю. Но Вы можете посчитать значение плотности в этой точке - просто подставив в формулу для $f$, если все параметры Вам известны.

Это все, что я смог понять из Вашего вопроса.

[zuj]

Во первых, прошу прогщения если неправильно ипсользовал какие то термины.

Далее ...

Цитата:

Это только для невырожденного случая, когда отсутствуют линейные зависимости между компонентами.

Можно об этом чуть поподробнее или хотябы ссылку.

Цитата:

Для точки $M$ нет понятия "вероятность", вероятность любой точки равна нулю. Но Вы можете посчитать значение плотности в этой точке - просто подставив в формулу для $f$, если все параметры Вам известны.

В том то и дело что прлотность я посчитать просто подставив в формулу не могу так как там есть вектор неизвестных $x=(x,y,z)$, который насколько я понимаю и нужен для определения области интегрирования. Пусть вас не смущает $x$ они разные этим я указываю на место в формуле где находятся эти неизвестные.

[Henrylee]

zuj писал(а):

Я догадываюсь, что придется считать тройной интеграл, но по какой области его брать в этом то и состоит мой вопроси нельзя ли это сделать как то полегче.

Заранее благодарен за любые комментарии.

Брать интеграл нужно по той области, вероятность попадания в которую точки $M_0$ Вы хотите рассчитать. Вероятность попадания в саму точки, как уже было сказано, равна нулю (область в этом случае есть одна точка).

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

zuj писал(а):

Можно об этом чуть поподробнее или хотябы ссылку.

Все просто. Когда компоненты случайного гауссовского вектора линейно зависимы, ковариационная матрица становится необратимой (вырожденной, определитель равен нулю), и плотности не существует.

zuj писал(а):

В том то и дело что прлотность я посчитать просто подставив в формулу не могу так как там есть вектор неизвестных $x=(x,y,z)$, который насколько я понимаю и нужен для определения области интегрирования. Пусть вас не смущает $x$ они разные этим я указываю на место в формуле где находятся эти неизвестные.

$x,y,z$ это не неизвестные, это аргументы. Вместо них и подставляйте координаты точки. Найдете плотность в этой точке.

[PAV]

Я рекомендую читать по этому поводу учебник Ширяева "Вероятность", раздел "Гауссовские системы".

[Henrylee]

Объясните, пож-та вот эту фразу

zuj писал(а):

посчитать для нее вероятность, т.е. в какой из вероятностных эллипсоидов она попадет.

у Вас же один эллипсоид, что Вы тут имеете в виду?

[zuj]

Цитата:

Я рекомендую читать по этому поводу учебник Ширяева "Вероятность", раздел "Гауссовские системы".

Спасибо попробую найти

Цитата:

у Вас же один эллипсоид, что Вы тут имеете в виду?

Эллипосид то один, но под этим я подразумевал, то что он может либо расширяться либо сужаться взависимости от коэффициента $k$ а вот коэффициент $k$ как раз и зависит от места положения этой произольной точки $M$ в пространстве, т.е. это может быть эллипсоид с длинами полуосей $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ либо $2\sigma_x, 2\sigma_y, 2\sigma_z$ и т.д.

Если есть еще какие-нибудь комментарии или замечания пожалуйста с удовольствием выслушаю.

PS: Да и такой вопрос как сделать чтобы цитата у меня ссылалась на конкретного человека, а не писалась просто Цитата

[Henrylee]

zuj писал(а):

а вот коэффициент $k$ как раз и зависит от места положения этой произольной точки $M$ в пространстве, т.е. это может быть эллипсоид с длинами полуосей $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ либо $2\sigma_x, 2\sigma_y, 2\sigma_z$ и т.д.

Секундочку-ка. Эллипсоид это поверхность уровня функции плотности. А точка может находиться где угодно, но как по единственной точке Вы собираетесь вычислить парметры распределения? (а коэффициент $k$ напрямую относится к ковариационной матрице)

[zuj]

Цитата:

Секундочку-ка. Эллипсоид это поверхность уровня функции плотности. А точка может находиться где угодно

Так оно и есть

Цитата:

но как по единственной точке Вы собираетесь вычислить парметры распределения?

В том то и дело что выше я писал, что параметры будут вычисляться не относительно точки а предположим есть какая то выборка и исходы из этой выборки и будут вычислены нужные параметры: средние, матрица ковариации и т.д.

Цитата:

(а коэффициент $k$ напрямую относится к ковариационной матрице)

А коэффициент $k$ можно вычислить следующим образом ... "единичные" $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ у нас есть и после приведения точки в систему координат эллипсоида дело не хитрое уже вычислить это $k$.

[Henrylee]

Или Вам нужно вычислить $k$, при котором точка попадет на границу эллипсоида?

Добавлено спустя 50 секунд:

Пока писал, Вы ответили

[zuj]

Цитата:

Или Вам нужно вычислить $k$, при котором точка попадет на границу эллипсоида?

Именно

Цитата:

Пока писал, Вы ответили

Такая же история

[Henrylee]

Ну если у Вас есть уравнение эллипсоида, то это не должно предатслвять сложности. Или можно повернуть $M_0$ преобразованием $\Sigma^{-1/2}$, перейдя тем самым в систему координат с оясми. човпадающими с осями эллипсоида.

Добавлено спустя 15 минут 31 секунду:

Henrylee писал(а):

Ну если у Вас есть уравнение эллипсоида, то это не должно предатслвять сложности.

Тут глупость сказал. Тогда поворот.

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

Точнее всего будет сказать так:
Возьмите функцию многомерного гауссовского распределения: $F(x_1,\dots,x_n)$ и рассмотрите преобразование следующего вида

$$ \left\{\begin{array}{rcl} y_n&=&F_n^{-1}\left(F(x_n|x_1,\dots,x_{n-1})\right)\\ y_{n-1}&=&F_{n-1}^{-1}\left(F(x_{n-1}|x_1,\dots,x_{n-2})\right)\\ \dots\\ y_1&=&x_1 \end{array} \right. $$

Подставляя свою точку $M_0$ сюда, Вы получите ее координаты в системе координат, где компоненты вектора независимы. А дальше из геометрических соображений.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Здесь $F_k(x)$ - маргинальная ф.р. компоненты $k$, если эллипсоид центрирован, это $\Phi\left(\frac{x}{\sigma_k}\right)$

[zuj]

Да с нахождением $k$ у меня проблем не возникает я не очень понимал как потом считать плотность распределения относительно этой точки ... но из Ваших с PAV-ом комментариев уже могу сделать кое-какие умозаключения