математическая модель физической задачи

[Kornelij]

Есть абсолютно конкретная тривиальная (?) «физическая» задача, для которой нужно составить математическую модель и решить ее, но что-то не выходит.
Условие: Есть 6 очень больших цистерн (три пустые и три с нефтью), количество нефти (в тоннах) в которых заданы вектором запасов

$$(0,0,0,200,300,400).$$

Между цистернами установлены отводящие устройства перекачки, каждое из которых характеризуется мощностью своей работы (в тоннах за час) и откачивает нефть в одну из соседних цистерн.
Матрица мощностей:

$$\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right) $$

Если в цистерне есть нефть, то она откачивается каждым отводящим устройством со скоростью, равной мощности устройства в одну из других цистерн, а если в цистерне пусто и скорость ее наполнения ниже суммарной мощности откачки, то отводящие устройства откачивают только ту нефть, которая поступает в эту цистерну благодаря другим устройствам, при этом скорости откачки отводящих устройств пропорциональны мощностям откачки этих устройств (но не могут превышать их). Нужно вычислить все скорости перекачки нефти между устройствами после включения устройств перекачки.

Попытка решения: через ${{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{6}}$ обозначаю искомые скорости и согласно условию задачи составляю систему из неравенств и равенств

$$\left\{ \begin{align} & 0<{{x}_{1}}\le 3 \\ & 0<{{x}_{2}}\le 2 \\ & 0<{{x}_{3}}\le 1 \\ & 0<{{x}_{4}}\le 2 \\ & 0<{{x}_{5}}\le 2 \\ & {{x}_{2}}+{{x}_{3}}\le {{x}_{1}}+1 \\ & {{x}_{2}}=2{{x}_{3}} \\ & {{x}_{4}}+{{x}_{5}}\le {{x}_{3}}+2 \\ & {{x}_{4}}={{x}_{5}} \\ & {{x}_{1}}\le {{x}_{4}}+3 \\ \end{align} \right.\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \left\{ \begin{align} & 0<{{x}_{1}}\le 3 \\ & 0<{{x}_{3}}\le 1 \\ & 0<{{x}_{5}}\le 2 \\ & 3{{x}_{3}}\le {{x}_{1}}+1 \\ & 2{{x}_{5}}\le {{x}_{3}}+2 \\ & {{x}_{1}}\le {{x}_{5}}+3 \\ \end{align} \right. $$

но, увы, система имеет не единственное решение, хотя логика подсказывает, что решение этой «физической» задачи должно быть единственным.

Что не так делаю?

[arseniiv]

А чего это ваши скорости не зависят от текущего состояния цистерн?

Kornelij в сообщении #902895 писал(а):

Матрица мощностей:

Угу, и поди догадайся, из строки в столбец откачивается или наоборот. Тот же факт, что это матрица, и так видно.

-- Вт сен 02, 2014 21:43:13 --

Пускай $u_{ij}$ — мощности перекачки из $i$ в $j$, $v_{ij}$ — реальные скорости перекачки, $x_i$ — наполненность $i$. Тогда

$$v_{ij} = x_i\ne0 \mathrel{?} u_{ij} : u_{ij} \frac{\sum_k u_{ki}}{\sum_k u_{ik}},$$

ну и, разумеется, $\frac{d}{dt}x_i = \sum_k v_{ki} - \sum_k v_{ik}$. Система дифуров с начальными условиями $x_i(0) = \ldots$ получается.

-- Вт сен 02, 2014 21:45:38 --

Если я не напутал, вот это и есть прямой перевод вашей задачи в формулы. (Если печалит ?:, можно переписать и иначе.)

-- Вт сен 02, 2014 21:50:46 --

(Разумеется, систему не надо решать руками.)

[Kornelij]

arseniiv в сообщении #903032 писал(а):

А чего это ваши скорости не зависят от текущего состояния цистерн?[/color]

Зависят. Я только немного некорректно написал, что именно обозначено иксами. $x_1=v_{31}, x_2=v_{14}, x_3=v_{12}, x_4=v_{23}, x_5=v_{25}$. Остальные же скорости равны мощностям.

arseniiv в сообщении #903032 писал(а):

Угу, и поди догадайся, из строки в столбец откачивается или наоборот.

Да, из строки в столбец.

arseniiv в сообщении #903032 писал(а):

Пускай $u_{ij}$ — мощности перекачки из $i$ в $j$, $v_{ij}$ — реальные скорости перекачки, $x_i$ — наполненность $i$. Тогда

$$v_{ij} = x_i\ne0 \mathrel{?} u_{ij} : u_{ij} \frac{\sum_k u_{ki}}{\sum_k u_{ik}},$$

ну и, разумеется, $\frac{d}{dt}x_i = \sum_k v_{ki} - \sum_k v_{ik}$. Система дифуров с начальными условиями $x_i(0) = \ldots$ получается.

Немного не так. Думаю, что вот так должно быть:

$$v_{ij} = x_i\ne0 \mathrel{?} u_{ij} : u_{ij} \frac{\sum_k v_{ki}}{\sum_k u_{ik}},$$

И самое главное - решаться должно без дифуров, во-первых, потому что так посталвено задание, а во-вторых потому, что с дифурами здесь намного тяжелее. Похожую задачу я решал, но там не было пустых цистерн в самом начале и скорости совпадали с мощностями, потом одна цистерна опустошалась первой, делался пересчет скоростей откачки для нее и снова вычислялась та цистерна, которая опустошится следующей, и.т.д. При этом опустошенные цистерны уже оставались пустыми и нефть через них шла транзитом. А сейчас загвоздка в том, что несколько пустых цистерн в условии (они не обязательно останутся пустыми дальше) и не удается посчитать скорости.

[arseniiv]

Kornelij в сообщении #903125 писал(а):

Немного не так. Думаю, что вот так должно быть:

Точно, спасибо!

А решаться эта система дифуров может и «без дифуров» (квадратное уравнение тоже не всегда решают, находя дискриминант!). Мне видится алгоритм, который по очереди определяет моменты опустошения какой-нибудь цистерны и применяет нужную формулу между соседними. Формулу можно найти и без решения никаких дифуров, конечно. [UPD: ага, раз вы сами решали, это знаете. ]

По поводу конкретного затруднения ничего сказать не могу, не вникал… Вы, в принципе, можете вот эту систему сейчас составить и убедиться в точности, будет ли задача для таких данных иметь единственное решение.

[Kornelij]

arseniiv в сообщении #903152 писал(а):

Вы, в принципе, можете вот эту систему сейчас составить и убедиться в точности, будет ли задача для таких данных иметь единственное решение.

Так система написана в самом первом посте. Или Вы о другой системе?

[arseniiv]

Ну, если с той не получается, то, может, с этой получится?

[Kornelij]

arseniiv в сообщении #903325 писал(а):

Ну, если с той не получается, то, может, с этой получится?

С какой "этой"? Вы писали систему с дифурами, а нужна без дифуров. Я писал без дифуров (в самом первом сообщении), но она имеет не единственное решение.

[Утундрий]

Без дифуров - это круто только на первый взгляд. На самом деле, с дифурами честнее. С дифурами, оно ежели и сойдётся к чему-то стационарному, то уж точно к единственному чему-то. А без дифуров - поди разберись. Нужно перебирать, доказывать... Поэтому, может, не стоит бояться дифуров? Они тут вполне липшицевые и весьма пушистые.

[Kornelij]

Утундрий в сообщении #903458 писал(а):

Поэтому, может, не стоит бояться дифуров? Они тут вполне липшицевые и весьма пушистые.

Я уколов дифуров не боюсь, если надо - уколюсь, но нжуно без дифуров. Вот интересно - что не так (чего-то не хватает или что-то неверно) в моей системе?

[Утундрий]

Kornelij в сообщении #903560 писал(а):

Я уколов дифуров не боюсь, если надо - уколюсь, но нжуно без дифуров.

Ну так сделайте с дифурами, а начальству потом расскажете, что без дифуров решили...

[arseniiv]

Kornelij в сообщении #903560 писал(а):

Вот интересно - что не так (чего-то не хватает или что-то неверно) в моей системе?

Во-первых, она непонятная, и я не вчитывался в неё. Вы же говорили, что иксы — это скорости. И я напомнил, что скорости зависят от наполненностей цистерн, которых в вашей системе не значится. Чего вы после этого хотите?

-- Чт сен 04, 2014 02:49:36 --

Скорости также зависят и от времени, что я действительно забыл упомянуть явно (в дифуре-то и так ясно). А у вас опять никакой зависимости.

[Kornelij]

Утундрий в сообщении #903566 писал(а):

Kornelij в сообщении #903560 писал(а):

Я уколов дифуров не боюсь, если надо - уколюсь, но нжуно без дифуров.

Ну так сделайте с дифурами, а начальству потом расскажете, что без дифуров решили...

Увы и ах, но мне нужно сделать так, как нужно, и показать всю работу.

-- Чт сен 04, 2014 11:11:48 --

arseniiv в сообщении #903599 писал(а):

Вы же говорили, что иксы — это скорости. И я напомнил, что скорости зависят от наполненностей цистерн, которых в вашей системе не значится. Чего вы после этого хотите?

Нет, скорости не зависят от наполненностей цистерн, а только от того, пуста та или иная цистерна или нет. Скорость откачки из полной цистерны равна мощности откачиваемого устройства и не зависит от объема цистерны. Скорость откачки из пустой цистерны зависит от суммарной скорости закачиваемой нефти и пропорциональна мощности откачивания в совокупности всех откачиваемых устройств - именно это и было формально записано Вами же, arseniiv, в "формуле со знаком вопроса".

-- Чт сен 04, 2014 11:39:13 --

А с дифурами не все так просто. Вот в этом соотношении

$$v_{ij} = x_i\ne0 \mathrel{?} u_{ij} : u_{ij} \frac{\sum_k v_{ki}}{\sum_k u_{ik}},$$

видим, что скорость зависит от того, пустая цистерна или нет. Если цистерна не пустая, то скорость действительно можно "считать" по этой "формуле" и с этой скоростью устрйоство откачки будет работать какое-то ненулевое ближайшее время. Но вот если цистерна вначале пуста, то вполне может оказаться, что после включения всех перекачивающих устройств время, которое она будет оставаться пустой, равно нулю.

[arseniiv]

Kornelij в сообщении #903681 писал(а):

Нет, скорости не зависят от наполненностей цистерн, а только от того, пуста та или иная цистерна или нет.

Т. е. зависят от наполненностей цистерн. Зависимость же не обязана быть непрерывной.

Какие бы уравнения вы ни были соответствующими, в них обязаны присутствовать эти состояния цистерн и время. Даже если там не будет дифференцирования.

-- Чт сен 04, 2014 20:40:43 --

Kornelij в сообщении #903681 писал(а):

Если цистерна не пустая, то скорость действительно можно "считать" по этой "формуле" и с этой скоростью устрйоство откачки будет работать какое-то ненулевое ближайшее время. Но вот если цистерна вначале пуста, то вполне может оказаться, что после включения всех перекачивающих устройств время, которое она будет оставаться пустой, равно нулю.

Извините, не понимаю, к чему это. Оставшиеся уравнения связывают наполненности и скорости, так что время, которое цистерна будет пустой, после того как она в начале или в какой-то другой момент опустошилась, определяется.

[Утундрий]

Ладно, не хотите дифуры, так и не надо. Но давайте всё-же рассуждать эволюционно. Вот, имеется конкретный пример. Рассмотрим его. Что будет происходить на первом этапе, до возникновения некоего предполагаемого кризиса?

[Kornelij]

arseniiv, Вы ошибаетесь. Посмотрите (если хотите) еще раз мой пост post903125.html#p903125 и попробйте представить, насколько легко задача решатеся (без дифуров), если нет пустых цистерн - в самом начале скорости совпадают с мощностями, потом одна цистерна опустошалась первой (она легко находится и время ее опустошения тоже), делался пересчет скоростей откачки для нее и снова вычисляем ту цистерну, которая опустошится следующей, и.т.д. При этом опустошенные цистерны уже остаются пустыми и нефть через них идет транзитом. Если же пустые цистерны есть в самом начале, то не факт, что они будут оставаться пустыми, а от того, будет ли цистерна в ближайшее время (как угодно маленькое) пустой (или нет), зависит ход расчета скоростей.

Утундрий в сообщении #903846 писал(а):

Ладно, не хотите дифуры, так и не надо. Но давайте всё-же рассуждать эволюционно. Вот, имеется конкретный пример. Рассмотрим его. Что будет происходить на первом этапе, до возникновения некоего предполагаемого кризиса?

В этом как раз и есть мой вопрос. А у Вас есть ответ? Самое главное, что мешает сдвинуться с мертвой точки, так это незнание того, какие из пустых цистерн будут оставаться пустыми в ближайшее время (как угодно маленькое)