Течение Пуазейля в плоском и круглом канале

[Evilart]

Студент 3 курса механики и мат. моделирования.
Доброго времени суток всем умникам и умницам. Друзья, Течение Пуазейля. Моя проблема связана не столько с расчётами сколько прежде всего, с пониманием самой сути вопроса. После моих тщетных попыток узнать что конкретно такое "Течение Пуазейля", везде в лоб одна и та же информация, что бы не рыться в истории, процитирую ту же Википедию:

Цитата:

Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля — одно из самых простых точных решений уравнений Навье — Стокса.

Всё на уровне очевидного понимания. Но начав дотошно разбираться во всём подробнее, те же очевидные вещи встали колом, и требуют объяснения понимающих, людей. Суть вопроса. Отталкиваясь от определения выше, я стал рыть, что такое уравнения Навье - Стокса.

Цитата:

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости.

Вот тут мою далёкую от физики голову стали мучить вопросы. Уравнения Навье - Стокса описывают движение вязкой Ньютоновской жидкости, что из себя представляет в таком случае, и зачем вообще нужно само Течение Пуазейля, если всё уже описано Навье. Течение Пуазейля в википедии оформлено с участием всего 1 формулы, Q - расход жидкости в трубопроводе. То есть Течение Пуазейля, необходимо для расчёта расхода жидкости?

Вроде бы должно быть всё ясно, во всяком случае мне было бы больше понятно, если бы меня конкретно ткнули носом. Течение Пуазейля находит то-то и то-то, применяется тогда-то и тогда-то. Не понимая этих вещей, я попытался разобраться дальше, понять хоть что нибудь, а свои непонимания косвенно объяснил тем, что Течение Пуазейля - это не формула и даже не закон, это просто граничные условия, которые применяются к уравнениям Навье - Стокса, и уже из них мы что то находим.

Читал о законе распределения скоростей, о уравнении неразрывности и как его получают, все эти вещи как я понял, в той или иной степени затрагивают тему "Течение Пуазейля". Вообще, только из определений, я понял что само понятие Течение Пуазейля существует в двух случаях: при ламинарном течении в круглом канале, и в плоском, причём для обоих случаев Течение Пуазейля применяется по разному, либо результаты разные, либо это вообще что то разное.

Для общего понимания всей сложности моей ситуации, мне необходимо работать над Курсовой работой по этой теме, вообще звучит она так "Течение Пуазейля в плоском канале", как я сказал выше, с расчётами проблем не возникает никаких, мне важно понять сам смысл того, что мне считать придётся.

К слову о курсовой, в интернете, найти было не сложно, шаблонный вариант конкретно по этой теме, дак вот там, хоть курсовая и называется Течение Пуазейля, хоть и приводится случай в плоском канале, тем не менее - занимает это всё, не больше 1-2 страниц, всё остальное, во много больше половины, занимают как раз таки темы о уравнении неразрывности, уравнения Навье Стокса, установившееся ламинарное течение, приписали зачем то ещё, течение Куэтта. То есть на моей практике, обычно если курсовая по теме, то 1-2 страницы это скорее по части "подойти к теме", а всё остальное по части "раскрыть", а тут получилось на оборот, всю курсовую - подходили к теме, и на 1-2 страницах изложили. Моя озабоченность связанна наверное ещё с тем, что

Цитата:

Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики

Но дело даже не в курсовой, и не в том что там написано, а в том - каким образом это всё имеет отношение к течению Пуазейля, и если такое течение это инструмент для уравнений Навье Стокса, то как этим инструментом пользоваться.

В общем, господа, буду очень признателен, если вы хоть как то прольёте свет на мою проблему, не стану наглеть, но было бы не лишним так же, хотя бы в общих чертах, описать что конкретно подразумевает под собой курсовая на тему "Течение Пуазейля", то есть на данном этапе, если стартовать с нуля - дальше титульной страницы, я скорее всего не продвинусь,. Буду бесконечно рад подискутировать и разобраться в этом вопросе.

Касательно самой темы, в поиске нашёл ряд похожих, но лишь в названии, то есть все вопросы и проблемы затронутые в них, подразумевают что люди как бы уже знают материал, и затрагивают больше практическую часть.

[DimaM]

Течения Пуазейля - частное решение уравнений Навье-Стокса, описывающее ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в канале.
Для курсовой в таком виде, как вы описали, явно маловато. Хорошо бы еще обсудить границы устойчивости (до какого числа Рейнольдса существует ламинарное течение), очень желательно проделать эксперименты и/или численное моделирование. Тогда может получиться приличная работа. Кроме того, интересно посмотреть на влияние сжимаемости (гонять не воду/глицерин, а воздух, например).

[Evilart]

DimaM в сообщении #903222 писал(а):

Течения Пуазейля - частное решение уравнений Навье-Стокса, описывающее ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в канале.
Для курсовой в таком виде, как вы описали, явно маловато. Хорошо бы еще обсудить границы устойчивости (до какого числа Рейнольдса существует ламинарное течение), очень желательно проделать эксперименты и/или численное моделирование. Тогда может получиться приличная работа. Кроме того, интересно посмотреть на влияние сжимаемости (гонять не воду/глицерин, а воздух, например).

Да, в режиме online так сказать, сижу и разбираюсь со своими вопросами. Уравнения Навье - Стокса, описывают движение вязкой ньютоновской жидкости. А течение Пуазейля вместе с течением Куэтта, это своего рода частные случаи, с теми или иными условиями. Течение Куэтта например, как я выяснил является безградиентным, то есть если я правильно понимаю, это есть ни что иное как условие $dp/dx=0$, а вот куда теперь это условие подставлять?

[DimaM]

Evilart в сообщении #903224 писал(а):

Течение Куэтта например, как я выяснил является безградиентным, то есть если я правильно понимаю, это есть ни что иное как условие $dp/dx=0$, а вот куда теперь это условие подставлять?

В уравнение Н-С, там же градиент давления присутствует. Плюс граничные условия.

[Evilart]

Цитата:

В уравнение Н-С, там же градиент давления присутствует. Плюс граничные условия.

У вас кстати нет идей касательно того какие наблюдения можно провести с практической точки зрения? В интернете нашёл, интересный опыт, в прозрачную пробирку налили две, одинаковой вязкости жидкости, с разными цветами. Граница между ними в состоянии покоя была ровной, а при открытии краника снизу, жидкость начала вытекать, и граница приняла параболический вид, что в свою очередь указывает на существование распределения скоростей. При всём при этом опыт не трудно поставить в бытовых условиях.

[DimaM]

Evilart
Интересный опыт, я такого не видел. Надо только, чтоб еще и плотность была примерно одинаковой.

Я имел в виду традиционные эксперименты: гонять по трубке воду или воздух и мерить расход в зависимости от перепада давления.

[Evilart]

Уважаемые, продолжаю свою работу над курсовой, по теме "течение Пуазейля между двумя параллельными плоскостями (плоский канал)". Возник такой вопрос. Работаю я, пользуясь следующей литературой: Б.Т. Емцев Техническая гидромеханика, и, Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров введение в механику сплошных сред. В каждой книге получение уравнений Навье-Стокса разное, в одной используется некий Закон Ньютона о вязкостных напряжениях и скоростях угловых коэффициентах деформаций, в другой используется уравнения Эйлера.

Подскажите, если я правильно понял, к уравнениям Навье-Стокса можно прийти по разному? Как ещё можно получить уравнения Н-Стокса? Есть ещё какая то литература, которую бы вы посоветовали в изучении вопроса о Течении Пуазейля?

И, если позволите, вопрос уже больше практического плана. Вот уравнения Навье-Стокса которые нам предлагает учебник Емцева, техническая гидромеханика.



Для краткости, работать будем только с одним из уравнений, пусть это будет уравнение проекции на ось X. Нам предлагают для случая НЕ сжимаемой жидкости $ (\rho = const)$ учитывая $div(u)=0$ упростить уравнения Навье-Стокса. Конкретно в учебнике, после этих самых упрощений, получается вот такой результат. .

Мои действия по упрощению ур. Н-Стокса следующие: Во-первых, сразу же перечеркнул последний член уравнения тот где фигурирует $div(u)=0$, так как в силу умножения на ноль он очевидно будет равен нулю. Во-вторых раскрыл все скобки,. В-третьих, из формулы $v=\mu/\rho$ (кинематическая вязкость) выражаю $\mu=v\rho$ и подставляю в наше уравнение. После чего выношу за скобку все $\rho$ и сокращаю их с $\rho$ за знаком "равно". Теперь окончательно, выношу за скобку $v$, и записываю получившееся выражение:



Думаю мой вопрос очевиден. Куда в случае с авторским вариантом делись смешанные производные в формуле, и куда подевалась двойка перед двойной производной по (икс).!?

[DimaM]

Evilart в сообщении #913057 писал(а):

Куда в случае с авторским вариантом делись смешанные производные в формуле, и куда подевалась двойка перед двойной производной по (икс).!?

Соберите в скобке вместе $\dfrac{\partial^2u_x}{\partial x^2}$ и смешанные производные. В сумме это будет $\partial/\partial x$ от некой величины. Чему равна эта величина?

[Evilart]

DimaM в сообщении #913174 писал(а):

Evilart в сообщении #913057 писал(а):

Куда в случае с авторским вариантом делись смешанные производные в формуле, и куда подевалась двойка перед двойной производной по (икс).!?

Соберите в скобке вместе $\dfrac{\partial^3u_x}{\partial x^2}$ и смешанные производные. В сумме это будет $\partail/\partial x$ от некой величины. Чему равна эта величина?

Простите, не совсем понял ваше сообщения. Собрать в скобки? У меня мои смешанные производные и так в одной скобке со всем добром. Моя проблема в том, что после упрощения у автора смешанных производны вообще не получилось, в отличие от моего результата.

[DimaM]

Evilart в сообщении #913197 писал(а):

Простите, не совсем понял ваше сообщения.

Простите, опечатался я. Сейчас поправил.
Еще раз: соберите вместе слагаемые - это будет $\partial/\partial x$ от некоторой величины. Посмотрите на эту величину внимательно.

[Toucan]

Evilart в сообщении #913057 писал(а):

Evilart, замечание за неиспользование $\TeX$ при наборе формул.

[Evilart]

DimaM в сообщении #913286 писал(а):

Evilart в сообщении #913197 писал(а):

Простите, не совсем понял ваше сообщения.

Простите, опечатался я. Сейчас поправил.
Еще раз: соберите вместе слагаемые - это будет $\partial/\partial x$ от некоторой величины. Посмотрите на эту величину внимательно.

Благодарю, навели на мысль. Это величина, если я всё правильно сделал, ни что иное как дивергенция, а она по условию у нас равно нулю. Опять же, если дивергенция равна нулю, мы её убираем, тогда пропадает и вторая производная по иксу. Остаются только две вторые производные по игреку и зет.

[DimaM]

Evilart в сообщении #913347 писал(а):

Это величина, если я всё правильно сделал, ни что иное как дивергенция, а она по условию у нас равно нулю.

Именно так.