угловая скорость твердого тела

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Существует и притом единственный (аксиальный) вектор $\omega$ такой, что скорости любых двух точек $A,B$ твердого тела связаны соотношением $v_B=v_A+[\omega,AB]$.

Этот вектор называется угловой скоростью.

Доказательство теоремы.
Обозначим $AB=u$. Очевидно, $v_B=v_A+\dot u$. Поскольку, вектор $u=u(t)$ соединяет две точки в твердом теле, его эволюция описывается ортогональным оператором: $u(t)=A(t)u(0),\quad A^*(t)=A^{-1}(t)$. Следовательно, $\dot u(t)=\dot A(t)u(0)=\dot A(t)A^{-1}(t)u(t)$.
Легко проверить, что оператор $B(t)=\dot A(t)A^{-1}(t)$ косоимметричен: $B^*(t)=-B(t)$. В силу известной (и очевидной) теоремы из линейной алгебы, существует и притом единтсвенный вектор $\omega=\omega(t)$ такой, что $B(t)u(t)=[\omega(t),u(t)]$.

Теорема доказана.

[Munin]

Можно кососимметричность чуть подробнее расписать?

[Oleg Zubelevich]

В силу ортогональности $A$ будет $B=\dot AA^*,\quad B^*=A\dot A^*$ и

$$B+B^*=\frac{d(AA^*)}{dt}=\dot I=0$$

[Munin]

Спасибо.

Хорошо, что точка и звёздочка коммутируют...

[ewert]

Munin в сообщении #536131 писал(а):

Хорошо, что точка и звёздочка коммутируют...

А как бы они могли не коммутировать, если звёздочка (точнее, буковка Т, в данном-то случае) линейна?...

[anatoliy_kiev]

Oleg Zubelevich в сообщении #536021 писал(а):

Теорема.
----
Теорема доказана.

это хорошо, но не видно методологической новизны. До вас такие и похожие доказательства проделывали множество авторов учебников, так что они общеизвестны. Из тех, кто вспоминается сразу -- это мфтишная книга Яковенко. Если найду её выложу соответствующие страницы

-- Чт фев 09, 2012 19:19:40 --


--


Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики, 2005

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Доказательство не полное. Вы фактически доказали, что для любых двух точек $A$ и $B$ существует вектор $\omega_{AB}$ такой,что $v_B=v_A+[\omega_{AB},AB]$. Теперь еще надо доказать, что он на самом деле не зависит от выбора точек.

-- Чт авг 30, 2012 10:33:33 --

anatoliy_kiev в сообщении #536766 писал(а):

это хорошо, но не видно методологической новизны.

Oleg Zubelevich и не претендует, я думаю. Это же так, междусобойчик. Люди делятся преподавательским опытом.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #612447 писал(а):

Доказательство не полное. Вы фактически доказали, что для любых двух точек $A$ и $B$ существует вектор $\omega_{AB}$ такой,что $v_B=v_A+[\omega_{AB},AB]$. Теперь еще надо доказать, что он на самом деле не зависит от выбора точек.

Оператор $A(t)$ от точек не зависит, а значит и $\omega$ не зависит. Возьмите неподвижный репер и вморозьте другой репер в твердое тело, $A(t)$ это оператор, который базисные векторы неподвижного репера переводит в базисные векторы репера связанного с твердым телом. Этот оператор определен с точностью до композиции с независящим от времени ортогональным оператором, который отвечает за выбор репера в твердом теле

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #612547 писал(а):

Оператор $A(t)$ от точек не зависит

Согласен. Я ступил.

[Oleg Zubelevich]

Другой совершенно элементарный способ введения понятия "угловая скорость".

Пусть ортонормированная положительно ориентированная система координат $Ax_1x_2x_3$ движется произвольно относительно какой-то неподвижной системы. Базисные орты $\overline e_1,\overline e_2,\overline e_3$ зависят от времени.

Определение. Угловой скоростью системы $Ax_1x_2x_3$ называется (аксиальный) вектор $\overline \omega=(\dot{\overline e}_2,\overline e_3)\overline e_1+(\dot{\overline e}_3,\overline e_1)\overline e_2+(\dot{\overline e}_1,\overline e_2)\overline e_3.$
(Формула содержится в [Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев Теор. Мех.])

Теорема. (Формулы Пуассона) $\dot{\overline e}_i=[\overline \omega,\overline e_i],\quad i=1,2,3$.
Доказывается прямой подстановкой с использованием формул $(\overline e_i,\overline e_j)=\delta_{ij},\quad (\dot{\overline e}_i,\overline e_j)+(\dot{\overline e}_j,\overline e_i)=0$.

Отсюда сразу следует (в части существования) следующая теорема.

Теорема.(Формула Эйлера) Существует и притом единственный вектор $\overline \omega$ такой, что для любых двух точек $A,B$ твердого тела верна формула

$$\overline v_A=\overline v_B+[\overline\omega,\overline{BA}].\qquad (*)$$

Единственность доказывается тривиально от противного.

Определение. Угловой скоростью твердого тела называется вектор, который стоит в формуле (*)

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #902922 писал(а):

Доказывается прямой подстановкой с использованием формул $(\overline e_i,\overline e_j)=\delta_{ij},\quad (\dot{\overline e}_i,\overline e_j)+(\dot{\overline e}_j,\overline e_i)=0$.

...из которых вторая - следствие первой.

Oleg Zubelevich в сообщении #902922 писал(а):

$$\overline v_A=\overline v_B+[\overline\omega,\overline{BA}].\qquad (*)$$

Если переставить обозначения

$$\overline v_B=\overline v_A+[\overline\omega,\overline{AB}],$$

то формулу будет проще сопоставить с предыдущим определением (точка $A$ и там и там имеет одинаковый смысл).

Кстати, Oleg Zubelevich, левый вопрос: а вы сообщаете слушателям, что в англоязычных публикациях для скалярного и векторного произведения приняты другие обозначения?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #902969 писал(а):

Если переставить обозначения

$$\overline v_B=\overline v_A+[\overline\omega,\overline{AB}],$$

то формулу будет проще сопоставить с предыдущим определением (точка $A$ и там и там имеет одинаковый смысл).

а вот это я прохлопал. буква $A$ в формуле Эйлера к букве $A$ в записи $Ax_1x_2x_3$ отношения не имеет.

Munin в сообщении #902969 писал(а):

ос: а вы сообщаете слушателям, что в англоязычных публикациях для скалярного и векторного произведения приняты другие обозначения?

а я на это как-то и сам внимания не обращал. У Иосиды (функан), например, скалярное произведение обозначено круглыми скобками, а не уголками...

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #902975 писал(а):

а я на это как-то и сам внимания не обращал. У Иосиды (функан), например, скалярное произведение обозначено круглыми скобками, а не уголками...

Очень часто есть несколько разнородных скалярных произведений (напр., в $\mathbb{R}^n$ и в $L^2(\mathbb{R}^n)$); тогда они обозначаются соответсвенно уголками и скобками.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #902984 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #902975 писал(а):

а я на это как-то и сам внимания не обращал. У Иосиды (функан), например, скалярное произведение обозначено круглыми скобками, а не уголками...

Очень часто есть несколько разнородных скалярных произведений (напр., в $\mathbb{R}^n$ и в $L^2(\mathbb{R}^n)$); тогда они обозначаются соответсвенно уголками и скобками.

ну, если для Вас это столь важно, то можно и другой пример привести:Halmos Finite -Dimensional Vector Spaces. Там скалярное произведение обозначается круглыми скобками.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #902975 писал(а):

а вот это я прохлопал. буква $A$ в формуле Эйлера к букве $A$ в записи $Ax_1x_2x_3$ отношения не имеет.

Ну да, но их можно связать ассоциативно. Тогда теорема Эйлера доказывается, скажем, так:

$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+r_i\vec{e}_i$$

$$\vec{v}_B=\dot{\overrightarrow{OB}}=\dot{\overrightarrow{OA}}+r_i\dot{\vec{e}}_i=\vec{v}_A+r_i[\vec{\omega},\vec{e}_i]=\vec{v}_A+[\vec{\omega},\overrightarrow{AB}].$$

Oleg Zubelevich в сообщении #902975 писал(а):

а я на это как-то и сам внимания не обращал.

Я в основном про разнобой в векторном произведении. В англоязычных источниках не бывает квадратных скобок, только $\vec{a}\times\vec{b}.$ А во французских ещё хлеще: $\vec{a}\wedge\vec{b}.$ Ну впрочем, всё это преходяще, но думаю, полезно было бы предупредить читателя, что обозначения бывают разные, и с ними надо заранее ознакомиться.