МКЭ упругость. Решение разреженной СЛАУ.

[brddrdtt]

Решил разобраться в МКЭ и для этого написать свою программу (С#).
Нашёл в интернете уравнения для построения матрицы жёсткости тетраэдра. (решается задача упругости). написал процедуру, протестировал - вроде всё работает.
Написал процедуру построения глобальной матрицы жёсткости, - проверка прошла так же успешно.
Матрица жёсткости получается сильно разреженной.
http://pixs.ru/showimage/Bezimyanni_657 ... 645639.jpg
Гаусс не справляется. И в этом проблема.

Отдельно хочу рассказать о некоторых аспектах работы программы.
1. При построении матрицы жёсткости тетраэдра процедура может дать сбой, если узлы имеют одинаковые координаты, условно говоря, если X координаты первого и второго узлов одинаковые. Я это связываю с алгоритмом построения МЖ элемента. В нём присутствуют формулы, в знаменателе которых стоит разность координат узлов. Соответственно в таком случае происходит деление на 0.
2. Проверка верности процедуры построения МЖЭ проводилась на тех координатах, которые были представлены в интернетовской статье о построении МЖ тетраэдра. Результаты совпали.
3. Проверка верности процедуры построения ГМЖ проводилась следующим образом. Я рассчитал все МЖЭ системы. Они представляю собой таблицы 12х12 (в тетраэдре 4 узла по 3 координаты в каждом). Сложил элементы соответствующие всем выбранным координатам выбранных узлов. (условно говоря, нашёл во всех матрицах все элементы соответствующие 4 узлу координате Z, и сложил их). Сравнивать вручную вообще все элементы - довольно трудоёмкий процесс, поэтому я ограничился выборкой из нескольких узлов. Все вручную посчитанные результаты совпали с результатом написанной программы.
4. Процедура решения СЛАУ методом Гаусса тестировалась на не разреженных матрицах. Сравнение с популярными мат пакетами показали верность её работы.

Вопросы.
1. Приведённая матрица жёсткости - это нормально , что так много нулей?!
2. Выходит, что используемый мной алгоритм построения МЖ тетраэдра не самый общий, существует ли такой, который не проваливается на одинаковых координатах?
3. Может кто - то решал аналогичные задачи, и может сохранился код - очень хочется удостовериться в верности написанного - потому что, если есть ошибка придётся переделывать огроомную работу!! Или каким другим известным способом проверить мои матрицы.
3а. Для этого я готов сам выслать хорошо откоментированный код и/или разобраться в Вашем.
4. И самое главное, если всё же предположить, что ГМЖ верна, - как решить такую сильно разреженную СЛАУ?

[Arkhipov]

brddrdtt в сообщении #902297 писал(а):

как решить такую сильно разреженную СЛАУ?

У Вас не слишком большая матрица, удобно пользоваться прямыми солверами, например SuperLU, MUMPS. Однако все они в сущности представляют собой метод Гаусса. Быть может, Вы не придали большого значения предобуславливателю, так как при аккуратном его применении обычно у Гаусса не возникает серьезных проблем.

[arseniiv]

brddrdtt, не пишите вы всё целиком. Возьмите Math.Net Numerics и решайте систему не своим велосипедом.

[Yuri Gendelman]

brddrdtt в сообщении #902297 писал(а):

4. И самое главное, если всё же предположить, что ГМЖ верна, - как решить такую сильно разреженную СЛАУ?

Есть много литературы по решению разреженных СЛАУ, например:
1) Р. Тьюарсон. Разреженные матрицы. 1977
2) А. Джордж, Дж. Лю. Численное решение больших разреженных систем уравнений. 1984
3) О. Эстербю, З.Златев. Прямые методы для разреженных матриц. 1987
4) С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. 1988
5) Duff I.S., Erisman A.M., Reid J.K. Direct Methods for Sparse Matrices. 1989
6) Y. Saad. Iterative Methods For Sparse Linear Systems. 2003
7) T. A. Davis. Direct Methods for Sparse Linear Systems. 2006

Помнится, в (2) есть исходники на Фортране.

[brddrdtt]

Спасибо Arkhipov,arseniiv и Yuri Gendelman.
По-видимому, моя проблема всё-таки в неверном построении ГМЖ, возможно, даже корни уходят в МЖЭ. На сколько я понимаю, в ГМЖ на главной диагонали должны стоять не нулевые элементы. В таком случае, возможно, и предобуславливатель не понадобиться. Да,Arkhipov, - я действительно не придал ему никакое значение.
Придётся всё переделывать. arseniiv, можете подсказать - есть ли в этой библиотеке процедуры построения МЖ тетраэдра для упругой задачи.
Или, если знаете, подскажите, пожалуйста, библиотеки в которых они есть.

[arseniiv]

Кажется, в последних версиях нет никаких алгоритмов для конечных элементов. Про другие пакеты для КЭ не в курсе, не занимался.

[brddrdtt]

Спасибо.
Буду искать.