Прошу помощи в дифференциальных уравнениях

[ZetR]

Вопрос по решению ДУ.
$y''+ay' = b(c-y) - d/y^2$, где $y=y(t)$ и $a$, $b$, $c$, $d$ - постоянные коэффициенты.
Пробовал задать это ДУ Вольфраму онлайн, безрезультатно.

[Ms-dos4]

Скорее всего никак (т.е. только численно). Понизить порядок можно, но там не лучше (будет видимо нерешаемое аналитически уравнение Абеля 2-го рода). Задача то откуда?

[ZetR]

Задачку сам набросал, описывает движение тела в смешанных полях, т.е. пропорциональных смещению и еще пропорциональных обратному квадрату смещения.

[Ms-dos4]

Подробнее про задачу. Движение одномерное, или например центральное поле(в любом из этих случаев исходить надо сразу из первого интеграла, а не выписывать уравнения движения)? И про какое поле говорите, которое обычно подразумевают (потенциал $\[U\]$) или силовое поле $\[{\vec F}\]$?

[Vince Diesel]

При $a=0$ математика выдает ответ, но очень сложный, с корнями кубического уравнения, зависящими от параметра.

[Ms-dos4]

Vince Diesel
Это очевидно, при $\[a = 0\]$ для уравнения $\[y'' + g(y) = 0\]$ понижение порядка даёт легко разрешимое уравнение и в неявном виде решение легко выписывается $\[t = {C_2} \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {{C_1} - 2\int {g(y)dy} } }}} \]$. Вся загвоздка как раз в первой производной. Был бы там квадрат или 4-ая степень, шанс на решение был бы.

[ZetR]

Коэф. а характеризует потери при движении, правая часть ур-я - силовое поле, оно из 2-х слагаемых - 1-ое - сила пропорциональная смещению (тело на пружине), 2-ое - сила пропорциональная обратному квадрату (например, поле силы тяжести). Обычно последнее считают постоянным в пределах смещения. Здесь попробовал выйти из этой условного упрощения. Просто "спортивный" интерес).

[Ms-dos4]

Рассмотрите ту же систему без трения, решение этого уравнения я записал выше (можно даже не понижать порядок а сразу записать первый интеграл - закон сохранения энергии). Дальше уже если вам интересно можно пытаться найти приближения к решению предположив, что коэффициент перед $\[\frac{1}{{{x^2}}}\]$ мал. В любом случае, гнаться за точным решением не стоит, найти его скорее всего невозможно.
P.S.По поводу "физики" системы я подумаю, сейчас особо времени нет.

[Евгений Машеров]

ZetR

А вместо постоянства взять линейное приближение? Не будет достаточно?

[Ms-dos4]

Евгений Машеров
Никакого смысла, эта сила просто сместит положение равновесия
ZetR
Кстати в дополнение к предыдущему совету, если уж есть сильное желание изучить систему с трением - попробуйте хотя бы на трении пропорциональном квадрату $\[ \sim {{\dot x}^2}\]$, там уравнение тоже допускает точное решение, понижение происходит заменой $\[{{\dot x}^2} = \xi (x)\]$ (см. эту тему, в ней я привёл подробное решение такого типа уравнений)

[ZetR]

При приближении к точке где компенсируются силы от упругого взаимодействия b*(c-y) и тяжести d/y^2 от точки у=с, а также далее в этом направлении понятно что тело "схлопывается" к центру, производящему слагаемое d/y^2. Думаю этот предельный случай можно не рассматривать. Там другое решение, а вот случай с осциллирующими движениями интересен. Да, и что-то Вольфрам выдает плохо читаемую абракадабру, даже при а=0?.) При д=0, все просто - затухающий осциллятор. Хотелось выйти из "масштабного" фактора в мысленном эксперименте.)

[Ms-dos4]

ZetR
Я уже выше вам всё написал, в том числе решение (в неявном виде) для случая без трения.

[Deggial]

ZetR в сообщении #902635 писал(а):

b*(c-y) и тяжести d/y^2 от точки у=с

ZetR, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[ZetR]

не совсем разбираюсь в условном символизме вольфрама, который решил задачу без трения, там интуитивно их 2 д.б., точка бифуркации - у равно с.

[Ms-dos4]

ZetR
Задача без трения легко решается и без вольфрама. Подключите руки, если вам задача так интересна.