ЭДСС

[bigstreet2356]

Всем доброго дня.Прошу помочь с задачей:Диэлектрический полый шар (внутр.радиус b,внешний а) находится в однородном внешнем электрическом поле.Определить поле:в полости,в слое и снаружи шара.Диэл.проницаемости:полость $\varepsilon_{Me}$,слой $\varepsilon_{D}$,снаружи шара $\varepsilon_{c}$.
Я ищу потенциалы во всех 3-х областях в виде:
Снаружи $\varphi_I =- E r \cos\theta+\sum^{\infty}_{n=0} A_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos\theta)$
В полости: $\varphi_{II} =\sum^{\infty}_{n=0} B_n r^n P_n(\cos\theta)$
В слое: $\varphi_{III} =\sum^{\infty}_{n=0} C_n r^n P_n(\cos\theta) +D_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos\theta)$
Далее через граничные условия я нахожу,что задача имеет решение только при n=1.При остальных n коэффициенты зануляются.
В томе 8 у Ландау есть вид этих потенциалов,только с потенциалом в слое у меня не сходится.
Ландау : $\varphi_I =- E \cos\theta (r-\frac{A}{r^2})$
$\varphi_{II} =- C E \cos\theta (r-\frac{D}{r^2})$
$\varphi_{III} =- B E r \cos\theta$
У меня: $\varphi_I =- E r \cos\theta (r-\frac{A}{r^2})$
$\varphi_{II} =- C E r \cos\theta + E \frac{D}{r^2}\cos\theta$
$\varphi_{III} =- B E r \cos\theta$
Вопрос:в правильной ли форме я ищу решение Лапласа для потенциала в слое?

[Munin]

Можно использовать замечательное свойство, что поле в диэлектрическом шаре (без полостей, и даже в эллипсоиде, соосном полю), помещённом в однородное поле, внутри однородно.

[Ms-dos4]

Причём заранее очевидно, что поле снаружи $\[{\varphi _I} = - \vec E\vec r + {C_1}\vec E\frac{{\vec r}}{{{r^3}}}\]$ и внутри
(как указал Munin) $\[{\varphi _{III}} = - {C_3}\vec E\vec r\]$. Потенциал же внутри слоя ищется в виде $\[{\varphi _{II}} = - {C_2}\vec E\vec r + {C_4}\vec E\frac{{\vec r}}{{{r^3}}}\]$. Если же вам нужно "строгое" рассмотрение, то виды потенциалов получаются как решения уравнений Лапласа, удовлетворяющие условиям (напр. для III - конечность в центре шара). Осталось вычислить константы из условий непрерывности.

-- Сб авг 30, 2014 15:14:06 --

Вы бы предупреждали, что редактируете. Откуда у вас в $\[{\varphi _I}\]$ дополнительный множитель $\[r\]$? Его там нет, при $\[n = 1\]$ (остальные $\[A\]$ обнуляются) выражение $\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_n}} \frac{1}{{{r^{n + 1}}}}{P_n}(\cos \theta )\]$ даёт $\[\frac{{{A_1}}}{{{r^2}}}\cos \theta \]$, т.к. $\[{P_1}(x) = x\]$. В остальном у вас всё верно (т.е. как и у Ландау)