Свойства функции и определенній интеграл

[Shpilev]

Доказать что функция является парной если на

\[ \mathbb{R} \]

если выполняется следующее условие для

\[ \forall x \in \mathbb{R} \]

:

\[ \int\limits_{ - x}^x {f(t)dt} = 2 \cdot \int\limits_0^x {f(t)dt} \]

Функция f непрерывна на множестве действительных чисел

[Brukvalub]

Из условия следует, что

\[\int\limits_{ - x}^0 {f(t)dt = } \int\limits_0^x {f(t)dt} \]

, а затем дифференцируем по х.

[Shpilev]

По

\[ dt \]

?
Если потом выполнить подстановку получается:

\[ - f( - x) = f(x) \]

[RIP]

Shpilev писал(а):

По

\[ dt \]

?
Если потом выполнить подстановку получается:

\[ - f( - x) = f(x) \]

Чего "по $dt$?"? Дифференцировать надо по $x$, Вам же написали. Ведь рассматриваемые функции зависят от $x$ (а $t$ --- просто переменная интегрирования, вместо неё вообще можно написать, что угодно, хоть ёжика нарисовать.) Продифференцировали Вы неправильно. Вспомните, как дифференцируются интегралы вида

$$\int\limits_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt$$

.

[Shpilev]

Да. Спасибо.
Я ступил. Перепутал все