Почему независимы координата и производная от неё?

[Nvcz]

Не знаю куда поместить вопрос - в физику или в математику. Т.к. вопрос возник из рассмотрения функции Лагранжа, то решил поместить в физику. Но возможно, что вопрос чисто математический.

Если Лагранжиан задаётся в виде $L = L(q,\dot q, t) $, то переменные $q$ и $\dot q$ в нём почему-то считаются независимыми.
Т.е. $\frac{\partial L}{\partial \dot q} \neq \frac{\partial L}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial \dot q}$
Хотя понятно, что $\frac{\partial q}{\partial \dot q}$ это что-то из разряда запрещённых операций, Но откуда вообще берётся необходимость рассматривать Лагранжиан как $L = L(q,\dot q, t) $, а не ограничиться одним только $L = L(q, t) $, ведь $\dot q$ однозначно определяется через $q$.
При этом, несмотря на то, что $L$ завист не от $\dot q$, а от $\dot q^2$, никто же не говорит, что $L = L(q,\dot q^2, t) $

Так почему же скорость считают независимой переменной от координаты, а вводят её как отдельную координату?

[DimaM]

Nvcz в сообщении #901631 писал(а):

ведь $\dot q$ однозначно определяется через $q$

$\dot q$ в данный момент однозначно определяется через $q$ в соседние моменты, не только в данный (Зенон, "Стрела").

[Roxkisabsver]

если Лагранжиан системы не будет зависеть от скорости, то вы просто не сможете понять эволюцию всей системы.

[Nvcz]

DimaM в сообщении #901633 писал(а):

Nvcz в сообщении #901631 писал(а):

ведь $\dot q$ однозначно определяется через $q$

$\dot q$ в данный момент однозначно определяется через $q$ в соседние моменты, не только в данный (Зенон, "Стрела").

Это так, для нахождения производной функции недостаточно знать значение функции в точке, надо знать значение в окресности. Но всё же. По определению, функция это правило по которому одному элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого множества. В определении же не сказано, что при этом нельзя смотреть на значения других элементов - вполне можно (как, например, в рекурсивных функциях). И $\dot q$ это именно функция от $q$. Исходя из этой логики я не могу понять, почему нельзя считать $L=L(q,t)$

-- 29.08.2014, 13:35 --

Roxkisabsver в сообщении #901637 писал(а):

если Лагранжиан системы не будет зависеть от скорости, то вы просто не сможете понять эволюцию всей системы.

Я не могу сказать что действительно понимаю это. Ведь Лагранжиан же зависит не только от координаты, но и от времени, а значитчто он вполне должен отображать изменение системы во времени, т.е. эволюцию.

[Ms-dos4]

Nvcz
При заданных координатах система может обладать в начальный момент времени любыми скоростями, следственно через момент $\[dt\]$ система может обладать различными координатами. Т.е. что бы определить эволюцию системы, задать координаты недостаточно, нужны ещё и скорости.

[Munin]

Nvcz в сообщении #901631 писал(а):

Если Лагранжиан задаётся в виде $L = L(q,\dot q, t) $, то переменные $q$ и $\dot q$ в нём почему-то считаются независимыми.

В данном случае $\dot{q}$ - всего лишь условное обозначение, а функция Лагранжа - простая функция трёх неизвестных. Можете обозначить второй аргумент как $\zeta,$ никто не обидится и ничего не изменится. Потом уже на место этого аргумента подставляется $\dot{q},$ но сама функция Лагранжа об этом "не знает".

Загвоздка позднее: когда при варьировании функционала действия надо брать вариации $q$ и $\dot{q}$ независимо. Вот этого я до сих пор не очень-то понимаю, но "так работает, не трогай".

-- 29.08.2014 15:22:29 --

Nvcz в сообщении #901641 писал(а):

Ведь Лагранжиан же зависит не только от координаты, но и от времени, а значитчто он вполне должен отображать изменение системы во времени, т.е. эволюцию.

Вы неправильно понимаете роль лагранжиана. Он не означает эволюцию системы, он означает саму систему. Аналогично тому, как набор дифференциальных уравнений по 2 и 3 законам Ньютона означает систему. Потом вы в этот набор подставляете начальные условия, решаете - и получаете эволюцию. Точно так же и с функцией Лагранжа - вы подставляете в действие начальные и конечные условия, варьируете - и получаете эволюцию. (Или, подставляете в уравнения Лагранжа начальные условия, решаете - и получаете эволюцию.) А функция Лагранжа сама по себе - ответственна за все возможные варианты эволюции, вместе взятые.

Если функция Лагранжа, недайбох, зависит от времени, то это означает, что сама физическая система зависит от времени. Сделать это можно, если физическая система как-то зависит от внешних условий, а эти условия меняются во времени. Например, маятник, точку подвеса которого как-то дёргают туда-сюда по какому-то заранее положенному закону. Но эволюция у такой системы всё равно может быть разная.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #901665 писал(а):

Загвоздка позднее: когда при варьировании функционала действия надо брать вариации $q$ и $\dot{q}$ независимо.

а вот это уже я не понимаю, почему независимо? Зависимо.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #901665 писал(а):

Загвоздка позднее: когда при варьировании функционала действия надо брать вариации $q$ и $\dot{q}$ независимо. Вот этого я до сих пор не очень-то понимаю, но "так работает, не трогай".

Разумеется эти вариации не независимые и вся процедура как раз об этом.

Что касается вариации $L$, то мы действуем по формуле дифференциала (Calculus II: функции многих переменных):

$$\delta L =\sum _j (\partial _{q_j} L)(\delta q_j) + \sum _j (\partial _{\dot{q}_j} L)(\delta \dot{q}_j)$$

причем $\delta$ здесь всего лишь другое обозначение для $d$ (которое "занято"), и здесь абсолютно неважно, какие это переменные $q_j$, $\dot{q}_j$.

Потом мы вспоминаем, что $\delta \dot{q}_j$ есть производная по $t$ и интегрируем по частям по $t$ избавляясь от $\delta \dot{q}_j$. А если бы вариации $q_j$ и $\dot{q}_j$ бы ли бы "совсем независимы", то вместо уравнений Лагранжа мы бы имели

$$ (\partial _{q_j} L) = (\partial _{\dot{q}_j} L)=0. $$

[Ms-dos4]

Я тоже этого не понял. Разве там требуется условие независимости? Используется то, что $\[\delta L(q,\dot q) = \frac{{\partial L}}{{\partial q}}\delta q + \frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}\delta \dot q\]$

[Nvcz]

Ms-dos4 в сообщении #901676 писал(а):

Я тоже этого не понял. Разве там требуется условие независимости? Используется то, что $\[\delta L(q,\dot q) = \frac{{\partial L}}{{\partial q}}\delta q + \frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}\delta \dot q\]$

А почему не просто $\[\delta L(q) = \frac{{\partial L}}{{\partial q}}\delta q$? Если $\dot q$ однозначно определяется как функция от $q$, то этого должно быть достаточно.

[Ms-dos4]

Nvcz
Так зависимость вот в чём, $\[\delta \dot q = \frac{d}{{dt}}\delta q\]$
Отсюда и имеем (после интегрирования по частям) $\[(\frac{{\partial L}}{{\partial q}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}})\delta q\] $

[Oleg Zubelevich]

Будем рассуждать локально. У нас есть функционал

$$F(q(\cdot))=\int _{t_0}^{t_1}L(t,q(t),\dot q(t)dt.$$

определенный на гладких функциях $q(t)$ ,подчиненных условию

$$q(t_i)=q_i,\quad i=0,1\qquad (*)$$

.
Дальше несколько неформально. Предположим мы ищем минимум этого функционала (разумеется минимума может не быть, а может мы ищем максимум, а на самом деле мы ищем лишь экстремаль, бла-бла-бла. Но сначала надо правильно усвоить логику происходящего). И пусть $x(t)$ -- это и есть этот самый минимум. Функция $x(t)+sh(t)$ удовлетворяет краевым условиям (*) при всякой функции $h$ такой, что $h(t_i)=0$ и всяком $s\in\mathbb{R}$. Следовательно, функция скалярного аргумента
$f(s)=F(x(\cdot)+sh(\cdot))$ должна иметь минимум в точке $s=0$.
Откуда

$$\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}f(s)=0,\quad \frac{d}{ds}\Big|_{s=0}f(s)=\int _{t_0}^{t_1}L_q(t,x(t),\dot x(t))h(t)+L_{\dot q}(t,x(t),\dot x(t))\dot h(t)dt.$$

Еще это называется производная по направлению $h$ или слабая производная. Подробнее про дифференцирование в аффинных пространствах см. Лоран Шварц "Анализ", Колмогоров Фомин "Элементы..."

[Munin]

Red_Herring в сообщении #901675 писал(а):

Потом мы вспоминаем

Вот это вот "сначала забываем, потом вспоминаем" и есть мутное место. Во многих учебниках мутно изложенное.

Ещё вариант того же балета, вид сбоку: в лагранжиане комплексного скалярного поля $\phi^*$ и $\phi$ варьируются независимо. В лагранжиане дираковского фермионного поля $\bar{\psi}$ и $\psi$ варьируются независимо. А во всё остальное время их связывают однозначные соотношения: $\phi^*=\operatorname{Re}\phi-i\operatorname{Im}\phi,\quad \bar{\psi}=\psi^\dag\gamma^0.$

[Nvcz]

Из представленных ответов, кажется складывается понимание. Попробую описать то, что понял:
Лагранжиан это разность кинетической и потенциальной энергии системы. При этом, по "фотографии" (т.е. зная только координату $q$ в фиксированный момент времени, но не зная скорости $\dot q$) системы можно определить потенциальную энергию, но невозможно определить энергию кинетическую. Т.е. скорость знать надо.
И, вроде бы, зная координату как математическую функцию, мы, несомненно, знаем её производную, но в том то и дело, что координата это именно координата - т.е. физическая величина, а не "элемент пространства функций". Или, наверное, лучше сказать, что системе неизвестно состояние координаты в течении всего времени, а известно лишь её текущее состояние в данный момент времени. И в этот фиксированный момент времени координата и скорость действительно независимые величины, несмотря на то, что в протяжённости времени, они по сути являются разной формой записи одной и той-же величины.

[Ms-dos4]

Munin
Так это не мутное место, а просто результат вариационного анализа. Есть у нас функционал $\[J = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {F(x,y,y')dx} \]$ Подставляем в него изменённую кривую $\[J = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {F(x,y(x,\xi ),y'(x,\xi ))dx} \]$, и согласно определению вариации $\[\delta f = \xi \cdot {\left. {(\frac{{df}}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 0}})\]$ имеем
$\[\delta J = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}\delta y + \frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\delta y')dx} \]$ (была взята производная по $\[\xi \]$)