Дифференциальное уравнение на основе разностного

[prof.uskov]

Для численного решения ДУ широко используется сведение его некоторому разностному уравнению путем той или иной аппроксимации.
Вопрос об обратной задаче. Имеется разностное уравнение, необходимо найти эквивалентное ему ДУ.

Возможные подходы к решению:
1. Заменить первые разности производными умноженными на период квантования. Аналогичные замены сделать для разностей более высокого порядка...
2. Если разностное уравнение описывает динамику некоторой системы вход-выход, то можно определить частотную характеристику - комплексный коэффициент передачи и затем построить ДУ с подобной частотной характеристикой.
Какие еще могут быть идеи? Всегда ли можно заменить разностное уравнение дифференциальным?

[Oleg Zubelevich]

объясните, пожалуйста на примере вот такого разностного уравнения: $x_{k+1}=kx_k$ что значит заменить разностное уравнение дифференциальным? И какое отношение решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь к решению разностного уравнения?

[prof.uskov]

Oleg Zubelevich в сообщении #901421 писал(а):

объясните, пожалуйста на примере вот такого разностного уравнения: $x_{k+1}=kx_k$ что значит заменить разностное уравнение дифференциальным? И какое отношение решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь к решению разностного уравнения?

Да, не досказал :)
Итак, у нас обыкновенное ДУ. Хочу чтобы его решение проходило на графике через точки решения разностного уравнения.

[Утундрий]

prof.uskov в сообщении #901418 писал(а):

Для численного решения ДУ широко используется сведение его некоторому разностному уравнению путем той или иной аппроксимации.
Вопрос об обратной задаче. Имеется разностное уравнение, необходимо найти эквивалентное ему ДУ.

Первое, что приходит на ум - метод дифференциального приближения.

[profrotter]

3. Найти импульсную характеристику линейной дискретной системы (ЛДС), описываемой данным разностным уравнением интерполировать её функциями Лагерра и построить аналоговую систему (АС) с такой импульсной характеристикой, отыскать её ДУ.
4. Выполнить билинейное преобразование "наоборот". Это по сути ваш п.2, но гарантирует, что устойчивая ЛДС переходит в устойчивую АС.
5. Преобразвать по полюсам системной функции ЛДС в АС.

Конечно речь идёт о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами.

[prof.uskov]

Утундрий в сообщении #901426 писал(а):

prof.uskov в сообщении #901418 писал(а):

Для численного решения ДУ широко используется сведение его некоторому разностному уравнению путем той или иной аппроксимации.
Вопрос об обратной задаче. Имеется разностное уравнение, необходимо найти эквивалентное ему ДУ.

Первое, что приходит на ум - метод дифференциального приближения.

Если не сложно. В двух словах в чем суть метода. Есть ли хорошая литература с описанием?

-- 28.08.2014, 21:53 --

profrotter в сообщении #901428 писал(а):

3. Найти импульсную характеристику линейной дискретной системы (ЛДС), описываемой данным разностным уравнением интерполировать её функциями Лагерра и построить аналоговую систему (АС) с такой импульсной характеристикой, отыскать её ДУ.
4. Выполнить билинейное преобразование "наоборот". Это по сути ваш п.2, но гарантирует, что устойчивая ЛДС переходит в устойчивую АС.
5. Преобразвать по полюсам системной функции ЛДС в АС.

Конечно речь идёт о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами.

3., 4. - согласен.
5. - не совсем понял.
Да. Коэффициенты уравнения постоянны (стационарная система).

[arseniiv]

А почему нельзя делать вот так?:

Формула Тейлора для $f(x + n)$, получаем

$$a_0f(x) + a_1f(x + 1) + \ldots + a_nf(x + n) = g \Leftrightarrow F(D)f \equiv (a_0 + a_1e^D + \ldots + a_ne^{nD})f = g.$$

Кажется, неглупо приблизить сумму экспонент $F$ вокруг нуля, чего можно добиться отбрасыванием всех высоких степеней, и получится ДУ конечного порядка. Тем лучшее, чем больше степеней осталось.

[Oleg Zubelevich]

то что псевдодифференциальные операторы можно сопоставлять разностным операторам это известно, только это не дифференциальные уравнения

[arseniiv]

Если взять вместо рядов $1 + D^n + D^{2n}/2 + \ldots$ конечные суммы, получится дифур.

-- Пт авг 29, 2014 00:41:53 --

Но вот полезный или нет, в том и вопрос.

[Утундрий]

prof.uskov в сообщении #901429 писал(а):

В двух словах в чем суть метода. Есть ли хорошая литература с описанием?

Рекомендуя, я нарочно употребил гуглеугодное словосочетание. Можете ещё добавить к запросу две фамилии: Шокин и Яненко.

[prof.uskov]

Утундрий в сообщении #901498 писал(а):

prof.uskov в сообщении #901429 писал(а):

В двух словах в чем суть метода. Есть ли хорошая литература с описанием?

Рекомендуя, я нарочно употребил гуглеугодное словосочетание. Можете ещё добавить к запросу две фамилии: Шокин и Яненко.

Да, вот эта книжка у меня и вылезла до того, как спросил. Отечественный продукт...
http://www.ict.nsc.ru/sitepage.php?PageID=1030
История http://yanenko.vixpo.nsu.ru/?int=VIEW&el=85&templ=VIEW

Так там везде пишут, что это для гиперболических дифференциальных уравнений, а у меня обыкновенные...

[Евгений Машеров]

Тривиальный ответ для линейных ДУ.
Если решение разностного уравнения выражается в виде суммы $x_i^t$, а дифференциального - $e^{\lambda_i t}$, то $\lambda_i=\ln x_i$

[Утундрий]

prof.uskov в сообщении #901508 писал(а):

Так там везде пишут, что это для гиперболических дифференциальных уравнений, а у меня обыкновенные...

Так для применения метода достаточно одной переменной.

Но что-то мы всё ходим вокруг да около. Давайте расмотрим конкретный пример.

[prof.uskov]

Утундрий в сообщении #901565 писал(а):

Давайте расмотрим конкретный пример.

В ресторане, кто пишет формулы на салфетке вместо того чтобы есть и пить, конечно же математик.

[g______d]

Евгений Машеров в сообщении #901555 писал(а):

Если решение разностного уравнения выражается в виде суммы $x_i^t$, а дифференциального - $e^{\lambda_i t}$, то $\lambda_i=\ln x_i$

Чтобы не возиться с кратными корнями, лучше сразу сказать, что если мы хотим эквивалентности уравнений $\mathbf {x}'=A\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}_{n+1}=B\mathbf {y}_n$ в смысле $\mathbf {x}(0)=\mathbf {y}_0$, $\mathbf {x}(n)=\mathbf {y}_n$, то достаточно взять $B=e^A$.