Среднее количество чисел

[RIP]

Задача, конечно, тривиальна (других я и не даю ), но результат мне показался интересным.
Из интервала $(0;1)$ независимо и равновероятно выбираются числа. Сколько чисел в среднем надо выбрать, чтобы их сумма стала $>1$?
Сорри за нестрогую формулировку. Если есть вопросы по формулировке, то спрашивайте. Боюсь, правда, что не успеете по вполне понятным причинам...

[Руст]

Рад, что RIP опять появился на форуме. Задача любопытная и не такая уж тривиальная.
Для этого надо посчитать вероятности $p_n=P(x_1+...+x_n<1)$ как объёмы тетраедра с боковыми сторонами 1 они равны $\frac{1}{n!}$. Тогда искомое среднее будет $$\sum_{k=2}^{\infty}k(1-p_k-1+p_{k-1})=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k-2)!}=e$.

[Юстас]

Пусть $X_n$-n-е выбранное число, $S_n$-сумма n чисел, и пусть $\tau=\min\{k: \ S_k>1\}$. Тогда
$E\tau=\sum\limits_{k\geq 2}kP(\tau=k)$
Несложно показать по индукции, что
$P(S_n<x)=\int_0^x P(S_{n-1}<x-y)dy=\frac{x^n}{n!}$.
Тогда $P(\tau=k)=P(S_{k-1}<1, \ S_k>1)=\int_0^1 P(X_n>1-y)dP_{S_{n-1}}(y)=\frac{k-1}{k!}$
Таким образом, $E\tau=\sum_{k\geq 2}\frac{1}{(k-2)!}=e$.

Добавлено спустя 15 минут 30 секунд:

Раз зашла речь о вероятностных задачах, вот достаточно интересный экземпляр:
Пусть $X_n=1$ c вероятностью $p$ и $X_n=-1$ с вероятностью $1-p$, $S_n=X_1+\dots+X_n$. Определим для целого $x$ $T_x=\inf\{k: \ S_k=x\}$. Для целых $a<0<b$ вычислите $P(T_a<T_b)$. Есть очень красивое короткое решение, использующее теорию мартингалов(хотя можно и без).