Неравенство K<=2n

[scwec]

$x_1,x_2,...,x_n,K$ натуральные числа. ${x_1}^2+...+{x_n}^2+x_1+...+x_n=Kx_1...x_n$.
Докажите, что $K\le{2n}$.

[gris]

Хотел попробовать $n=1$. Типа для индукции. Бился, бился. И не смог .
Подозреваю, что неравенство бывает и в другую сторону, если одно число намного больше остальных. Хотя, это если не требовать натуральности $K$, а с натуральностью, пожалуй, и в ту сторону. Когда вообще есть натуральные решения? Тут общими неравенствами не обойтись .

[scwec]

gris, конечно, $n\ge{2}$. Звиняйте. (Для двух тоже справедливо)

[scwec]

gris в сообщении #900220 писал(а):

Когда вообще есть натуральные решения?

Вот примеры решений: $(n=2,K=4,x_1=21,x_2=6), (n=3,K=5,x_1=78,x_2=8,x_3=2)$.
А при $K>2n$ решений нет. Это и надо доказать.

[gris]

Да я понял. Решений-то много есть. Моё любимое — $(1,4,22)$. Так ведь надо в целочисленных точках на гиперсфере копаться. Сказал наугад — вдруг прокатит?

[scwec]

Доказательство, которое имеется в виду, требует только знания формул Виета для квадратного уравнения.

[rightways]

Докажем, что если $K>2n$ то заданное уравнение не имеет решении в натуральных числах. Допустим, что $K>2n$ и уравнение

${x_1}^2+...+{x_n}^2+x_1+...+x_n=Kx_1...x_n$ .....$(1)$

имеет решение $(x_1,x_2,...,x_n)$. Тогда без ограничения общности будем считать что сумма корней $x_1+x_2+...+x_n-$ наименьшая из всех сумм (натуральных) корней уравнения $(1)$ и Б.О.О $x_1\ge x_2\ge ...\ge x_n$.
Рассмотрим квадратный трехчлен
$f(x)={x}^2-(Kx_2x_3...x_n-1)x+{x_2}^2+{x_3}^2+...+{x_n}^2+x_2+x_3+...+x_n$.
Тогда $x_1-$ является корнем $f(x)$.
Пусть $x_0-$ второй корень $f(x)$, тогда по теореме Виета:

$x_1+x_0=Kx_2...x_n-1$
$x_1x_0={x_2}^2+...+{x_n}^2+x_2+...+x_n$

откуда выходит, что $x_0-$ натуральное число, и поэтому $(x_0,x_2,...,x_n)-$ решение уравнения $(1)$.
Так как сумма корней $x_1+x_2+...+x_n-$ минимальна, то $x_0+x_2+...+x_n\ge x_1+x_2+...+x_n$ $x_0\ge x_1$ $x_0\ge x_1\ge x_2$. Отсюда следует, что $f(x_2)=(x_2-x_1)(x_2-x_0)\ge 0$. Но

$f(x_2)={x_2}^2-(Kx_2...x_n-1)x_2+{x_2}^2+...+{x_n}^2+x_2+...+x_n\ge 0$ $2{x_2}^2+...+{x_n}^2+2x_2+...+x_n\ge K{x_2}^2x_3...x_n>2n{x_2}^2x_3...x_n\ge 2n{x_2}^2\ge 2{x_2}^2+...+{x_n}^2+2x_2+...+x_n-$

противоречие. Значит $K\le 2n$.

[scwec]

Это самое решение и имелось в виду.

[mihiv]

Видимо, аналогично можно доказать, что в уравнении $x_1^2+\dots +x_n^2=Kx_1\dots x_n, K\leq n$?

[rightways]

mihiv в сообщении #900999 писал(а):

Видимо, аналогично можно доказать, что в уравнении $x_1^2+\dots +x_n^2=Kx_1\dots x_n, K\leq n$?

Да.

[scwec]

Именно так Гурвиц и доказывал, что $K\le{n}$.