Показать нетривиальность касательного расслоения сферы

[_Er]

Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$ пользуясь теоремой о еже.
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю.

Пусть $B$ – сфера $S^2$, a $F={R}^2 \textbackslash \{0\}$ – слой. Пространство расслоения $E$ – множество всех ненулевых касательных к $S^2$.
Если расслоение тривиально, то $E=S^2 \times {R}^2 \textbackslash \{0\}$. Рассмотрим подмножество пространства $E$, состоящее из пар $(b,\vec{v})$, где $b \in S^2$, а $\vec{v}$ – фиксированный вектор. Введем на сфере локальные декартовы координаты (плоские), непрерывно меняющиеся от точки к точке. При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю. Это запрещено теоремой о еже. Значит расслоение не тривиально.

-- 26.08.2014, 23:21 --

Сразу такой вопрос: почему нулевой вектор не входит в слой $F$? То, что $F={R}^2 \textbackslash \{0\}$, сказано в условии задачи.

[Oleg Zubelevich]

_Er в сообщении #900458 писал(а):

Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$

странно

[_Er]

Oleg Zubelevich в сообщении #900481 писал(а):

_Er в сообщении #900458 писал(а):

Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$

странно

Опечатка. Нужно показать НЕтривиальность. Спасибо, что заметили.

Нашел вот вроде бы ошибку в доказательстве.

_Er в сообщении #900458 писал(а):

Введем на сфере локальные декартовы координаты (плоские), непрерывно меняющиеся от точки к точке.

Мне кажется, что само это равносильно введению непрерывного векторного поля на сфере. Эти локальные координаты я ввел для того чтобы можно было определить, что значит, что $\vec{v}$ из ${R}^2 \textbackslash \{0\}$ касателен к сфере в какой-то точке $b$, потому что без них мне это не очень понятно.

[Munin]

_Er в сообщении #900532 писал(а):

Опечатка. Нужно показать НЕтривиальность. Спасибо, что заметили.

Исправьте её и в названии темы.

[popolznev]

_Er в сообщении #900458 писал(а):

При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю.

Вот это, честно говоря - набор слов без видимого смысла. С чего бы начать распутывать этот клубок? Может, дадим определение векторного поля?

[Oleg Zubelevich]

а в чем проблема? предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа. Что ТС и сказал

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):

а в чем проблема? предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа. Что ТС и сказал

Разве он сказал именно это?

[Oleg Zubelevich]

я его так понял

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #900709 писал(а):

я его так понял

Там ничего не написано о сечении $S \to TS$ - вместо этого говорится почему-то о проекции $TS \to S$.

Поправляюсь: пардон, всё-таки он же написал "фиксированный вектор", так что вы правы, я неправ.

-- 27.08.2014, 14:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):

предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа.

А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

[_Er]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #900680 писал(а):

Исправьте её и в названии темы.

Подскажите, пожалуйста, как, а то я что-то не могу найти.

popolznev в сообщении #900685 писал(а):

_Er в сообщении #900458 писал(а):

При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю.

Вот это, честно говоря - набор слов без видимого смысла. С чего бы начать распутывать этот клубок? Может, дадим определение векторного поля?

Попробую еще раз объяснить, что я хотел сказать. Если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$. Т.к. $b$ пробегает все точки сферы, то получается что в каждой точке сферы есть некоторый вектор $\vec{v}$, касательный к ней (множество этих векторов я назвал векторным полем). В первом сообщении я ввел локальные координаты для того чтобы явно определить, что значит, что вектор $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$, и в том варианте, что я тогда написал, получалось, что задаваемое таким образом векторное поле непрерывно.

Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):

Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$.

Не могли бы вы сказать почему такое поле $v(x)$ непрерывно?

И повторю свой предыдущий вопрос (который был задан неявно): если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$. Что значит, что вектор $\vec{v} \in {R}^2 \textbackslash \{0\}$ касателен к сфере в точке $b$? То есть, можно ли явно построить этот вектор(я для этого вводил локальные координаты)?

[popolznev]

Цитата:

Если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$.

А, стоп. Приношу свои извинения - сейчас перечитал ещё раз ваше стартовое сообщение и увидел там важное слово "фиксированный". Тогда в целом построение правильное. Надо только разобраться с терминологией.

[Munin]

(Оффтоп)

_Er в сообщении #900733 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как, а то я что-то не могу найти.

1. Открыть редактирование первого сообщения, и исправить заголовок сообщения.
2. Обратиться к модераторам.

[Oleg Zubelevich]

popolznev в сообщении #900714 писал(а):

А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

хотите это обсудить?

[popolznev]

_Er в сообщении #900733 писал(а):

В первом сообщении я ввел локальные координаты для того чтобы явно определить, что значит, что вектор $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$, и в том варианте, что я тогда написал, получалось, что задаваемое таким образом векторное поле непрерывно.

Для этого не нужны координаты - здесь надо воспользоваться стандартным способом введения топологии на декартовом произведении многообразий (коль скоро мы предполагаем, что касательное расслоение имеет вид $S^2 \times \mathbb{R}^2$). Короче говоря - автоматически оно будет непрерывным, такое сечение.

-- 27.08.2014, 15:32 --

Oleg Zubelevich в сообщении #900745 писал(а):

popolznev в сообщении #900714 писал(а):

А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

хотите это обсудить?

Я намекал на то, что в вашей формулировке "какое-нибудь сечение" (да ещё $v(x)$), то исходная идея, что вектор-то надо брать постоянным, плохо различима.

[Oleg Zubelevich]

а почему именно постоянным? разве любая пара гладких функций не сойдет, лишь бы одновременно в ноль не обращались?