Парадокс в последовательности случайных величин

[Diom]

Вот получился у меня такой парадокс… и что то не могу найти ошибку в рассуждениях. Не могли бы вы мне помочь это сделать.

Имеется последовательность случайных величин

\[ \xi _1 ...\xi _n ... \]

в которой

\[P\left\{ {E_n :\xi _n = 1} \right\} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }}\]

Положим далее событие

\[ S_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {E_{n + k} } \]

Тогда очевидно что будет выполняться следующее равенство

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {S_n } \right\} = 0 \]

Но тогда исходя из следующей теоремы:

Цитата:

Если событие E эквивалентно совместному осуществлению бесконечного числа событий

\[E_1 ,E_2 ...\]

\[E = E_1 E_2 ...\]

И каждое последующее событие

\[E_{n + 1} \]

влечет за собой предыдущее

\[E_n \]

то:

\[ P\left\{ E \right\} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {E_n } \right\} \]

будет следовать, что событие

\[S = S_1 S_2 ...\]

будет выполняться с вероятностью равной 0, но если учесть, что данное событие означает: для каждого n хотя бы при одном k будет происходить событие

\[E_{n + k} \]

, можно построить обратное событие

\[\overline S \]

выполняющееся с вероятностью 1 и означающее, что найдется такое n при котором для каждого k>0 выполниться:

\[ \xi _{n + k} \ne 1\]

и приходим к следующему парадоксу – не получится указать ни какого конкретного значения n для которого б с вероятностью 1 выполнялись

\[\xi _{n + k} \ne 1\]

для указанной последовательности случайных величин.

[Горьковчанин]

Итак, событие $S=\mathrm{lim\,sup}\,E_n$ в Ваших условиях имеет нулевую вероятность, а значит, с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий $E_1$, $E_2$, \ldots, $E_n$, \ldots. При этом номера наступивших событий конечно же случайны, и число наступивших событий также случайно. Поэтому Вы, по сути, в предложении

Diom писал(а):

найдется такое n при котором для каждого k>0 выполниться:

\[ \xi _{n + k} \ne 1\]

определяете случайный номер за последней единичкой и обязаны хотя бы обозначить его другой буквой, например, $\tau=\inf\{n\colon \xi_n=1, \xi_{n+k}\neq1, k>0\}$, $P(\tau<\infty)=1$. Тогда ваш "парадокс" утверждает лишь, что

\[P(\xi _{\tau + k} \ne 1)=1\]

, а для неслучайного номера $n$ попрежнему $P(\xi_{n+k}\neq 1)=1-\frac{1}{(n+k+1)^2}$

[Diom]

Благодарю. Действительно ошибка в интерпретации n вышла.
То есть единице равно событие не для конкретного n а для объединения по всем n:

\[ P\left\{ {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\overline {\bigcup\limits_{k = 1}^\infty {E_{k + n} } } } } \right\} = 1 \]