Биекция окружности в плоскость с выколотой точкой

[g______d]

Someone в сообщении #899665 писал(а):

Непрерывную биекцию нельзя, потому что непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм, а пространства $S$ и $P$ не гомеоморфны ($S$ компактно и одномерно, $P$ не компактно и двумерно).

Мне показался забавным тот факт, что если оба объекта рассматривать как группы по умножению (индуцировать из $\mathbb C$), то, в предположении аксиомы выбора, они изоморфны (разумеется, не как топологические группы, но как просто группы).

[arseniiv]

(Оффтоп)

А как изоморфизм строить? (Как я понял, $S = U(1)$ и $P = (\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$; это действительно про них?)

[g______d]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #900032 писал(а):

это действительно про них

Да.

arseniiv в сообщении #900032 писал(а):

А как изоморфизм строить?

Ну там вроде по ссылке и написано: $\mathbb R^2\cong \mathbb R$, следовательно,

$$ \mathbb R/\mathbb Z\cong \mathbb R^2/(\mathbb Z\times \{0\})\cong \mathbb R\times (\mathbb R/\mathbb Z)\cong \mathbb R_+\times (\mathbb R/\mathbb Z)\cong \mathbb C\setminus \{0\}. $$

Здесь $\mathbb R_+$ и $\mathbb C\setminus \{0\}$ — по умножению, остальные по сложению.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #900032 писал(а):

А как изоморфизм строить?

это же аксиома выбора:))) существование

[_Er]

alcoholist в сообщении #899996 писал(а):

вбейте в плоскость два гвоздя... Возьмите нитку... обмотайте сначала один, потом другой, потом первый в обратном направлении и второй в обратном... дерните за нитку...

Во-первых, мне кажется это в точности то же что и пример с окружностями. Во-вторых, меня в первую очередь интересует строгое обоснование того, что здесь фундаментальная группа некоммутативна. Потому что именно обосновать это я не могу.
Ну а вообще я ради интереса последовал вашему совету. То есть я буквально взял два гвоздя, плоскость и молоток, намотал на гвозди нить как вы предложили. Не совсем понятно как дерганье нитки интерпретируется в терминах топологии, но, полагаю, расчет был на то, что нитка не слезет с гвоздей. Вместо того чтобы дергать нитку я просто ее потянул. Ну и короче стянул и все тут. Слазит она конечно туговато, но я думаю, что это объясняется в рамках механики, а не топологии.

[alcoholist]

_Er в сообщении #900100 писал(а):

Ну и короче стянул и все тут

Цитата:

Оставайтесь! Будете гениальным механиком

[_Er]

alcoholist в сообщении #900123 писал(а):

Цитата:

Оставайтесь! Будете гениальным механиком

Честно говоря, не знаю откуда эта цитата. Лучше объяснили бы что не так – это бы мне больше помогло :)

[g______d]

_Er в сообщении #900100 писал(а):

Вместо того чтобы дергать нитку я просто ее потянул. Ну и короче стянул и все тут. Слазит она конечно туговато, но я думаю, что это объясняется в рамках механики, а не топологии.

Дурацкий вопрос: Вы концы верёвки вместе связали, или тянули за один?

[_Er]

g______d в сообщении #900130 писал(а):

Дурацкий вопрос: Вы концы верёвки вместе связали, или тянули за один?

Ну уже очевидно, что за один. Ну тогда, конечно, другое дело. Только не понимаю, зачем это было предлагать. Вроде бы итак понятно, что завязанная нить никуда с гвоздей не денется. Разве что ее вверх потянуть.

И все-таки может быть кто-нибудь может дать строгое объяснение почему этот пример подходит?

[alcoholist]

_Er в сообщении #900139 писал(а):

дать строгое объяснение

Конечно, строгое обоснование -- это либо Теорема Зайферта-ван Кампена, либо построение универсального накрывающего

[_Er]

alcoholist в сообщении #900148 писал(а):

Конечно, строгое обоснование -- это либо Теорема Зайферта-ван Кампена, либо построение универсального накрывающего

Еще говорят, что это доказывается в 3-м пункте § 7 "Курса гомотопической топологии" Фоменко и Фукса. Только вот, как я уже говорил, мои познания в топологии вообще очень поверхностны, и поэтому такие доказательства мне не понятны. Я надеялся, что есть простое обоснование. Может быть, конечно, его здесь и не существует.

[alcoholist]

_Er в сообщении #900163 писал(а):

Я надеялся, что есть простое обоснование

простое обоснование -- петля на гвоздях... проще нет

[_Er]

alcoholist в сообщении #900174 писал(а):

простое обоснование -- петля на гвоздях... проще нет

Я имел в виду простое и строгое одновременно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #900038 писал(а):

Ну там вроде по ссылке и написано

Ой, саму ссылку не заметил вчера.

alcoholist в сообщении #900039 писал(а):

это же аксиома выбора:))) существование

Да, я как-то плохо выразился, даже и не думал просить явный вид изоморфизма.

[Munin]

_Er в сообщении #900100 писал(а):

Во-вторых, меня в первую очередь интересует строгое обоснование того, что здесь фундаментальная группа некоммутативна. Потому что именно обосновать это я не могу.

Постройте эту группу в явном виде.

Заодно поймёте, что такое фундаментальная группа вообще.