Площадь сферы

[soll]

Всем привет. Пробовал получить площадь поверхности сферы $4\pi R^2$ через поверхностный интеграл в сферической системе координат. По $1/8$ объёма от всей сферы всё нормально получается

$\iint \limits_{S}^{} dS=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}R^2sin \theta d\varphi d\theta =\frac{\pi R^2}{2}$,

где $S=[x^2+y^2+z^2=R^2]$ и соответственно $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$.

Так как это $1/8$ часть от всей сферы, то умножая на $8$ получается правильный результат.

Теперь, если взять не $1/8$ часть, а полусферу, то пределы интегрированию будут от $0$ до $2 \pi$ и от $0$ до $\pi$. При этих пределах интегрирования уже получается ответ $4\pi R^2$. А так как это была полусфера, то умножение результата на $2$ даёт площадь соответственно вдвое большую, чем она есть.
Почему так получается? Неужели надо интегрировать до $\pi/2$, а не до $\pi$ ?
Углы ведь в верхней полусфере меняются $0$ до $2 \pi$ и от $0$ до $\pi$!!!

Lia: Устное замечание за некорректное оформление формул. Наличие долларов по краям формул обязательно. Исправлено.

[Nemiroff]

soll в сообщении #900029 писал(а):

Неужели надо интегрировать до $ \pi/2$, а не до $\pi$ ?

Да.

soll в сообщении #900029 писал(а):

Углы ведь в верхней полусфере меняются $0$ до $2 \pi$ и от $0$ до $\pi$!!!

Нет.

[Aritaborian]

soll в сообщении #900029 писал(а):

Углы ведь в верхней полусфере меняются $0$ до $2 \pi$ и от $0$ до $\pi$!!!

Какова широта Северного полюса Земли? То-то и оно.

[ewert]

Всё ещё проще:

soll в сообщении #900029 писал(а):

$\iint \limits_{S}^{} dS=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}R^2sin \theta d\varphi d\theta =\frac{\pi R^2}{2}$
. . . . . . . . . . . .
Теперь, если взять не $1/8$ часть, а полусферу, то пределы интегрированию будут от $0$ до $2 \pi$ и от $0$ до $\pi$.

Достаточно прикинуть, чему равно $\frac{\pi/2}{2\pi}\cdot\frac{\pi/2}{\pi}$

[kiss0009]

Ales в сообщении #734862 писал(а):

jokertokar в сообщении #734722 писал(а):

Необходимо вывести площадь сферы через двойной интеграл.
Её уравнение :$x^2+y^2+z^2=R^2$
Не пойму,что именно интегрировать и какие пределы подставлять...

Если есть учебник по мат. анализу, где демонстрируется это, буду весьма благодарен за подсказку.

Есть разные способы, но самый сложный - через формулу $x^2+y^2+z^2=R^2$.
Представим, что сфера - это глобус с радиусом R.
Надо брать широтные полоски и интегрировать по широте $\varphi$ от -90 до 90 градусов (от $-\frac {\pi} 2$ до $\frac {\pi} 2$ ).
Площадь каждой широтной полоски - это длина по меридиану - то есть $Rd\varphi$, умноженная на длину широтного пояса, то есть на $2\pi R\cos{\varphi}$.
Значит площадь сферы с радиусом R - это $\int \limits _{-\frac {\pi} 2} ^{\frac {\pi} 2} 2\pi R^2\cos{\varphi} d\varphi$.

Вы не могли бы пояснить,почему длина по меридиану равна $Rd\varphi$