Производная по вектору от векторного произведения.

[Nvcz]

В книге Classical Dynamics, автора David Tong, на странице 14 он находит, что Лагранжиан равен
$L=\frac{1}{2}m({\dot{\boldsymbol{r}}}'+\boldsymbol{\omega} \times {\boldsymbol{r}}')^2$ - здесть точка означает производную по времени, а штрих это не производная, а просто штрих, поэтому я перепишу, чтобы не было путаницы это как
$L=\frac{1}{2}m(\dot{\boldsymbol{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})^2$

А потом берёт от этого выражения производную по $\boldsymbol{r}$

$\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}}=m (\dot {\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{\omega} - \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}))$

В связи с этим вопрос. Как он это делает? Т.е. как я понимаю, выражение $\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}}$ означает вектор $\left ( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}} ;\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{y}};\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{z}} \right )$ и это можно было бы всё расписать покомпонентно, но как потом свести это всё в одну строку, к записи в виде векторного произведения? Наверное существуют какие-то правила, с помощью которых можно брать сразу такие вот производные по вектору от векторных выражений?

(Саму книжку, если захотите посмотреть, как там это расписано, можете взять здесь http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html. Она выложена в свободном доступе.)

[olenellus]

На самом деле, покомпонентно получается очень просто:

$$\frac{\partial}{\partial x_i}(a_j+\varepsilon_{jpq}\omega_p x_q)(a_j+\varepsilon_{jkl}\omega_k x_l) = 2\varepsilon_{jpq}\omega_p\delta_{iq}(a_j+\varepsilon_{jkl}\omega_k x_l)=2\varepsilon_{ijp}a_j\omega_p-2\varepsilon_{ipj}\omega_p\varepsilon_{jkl}\omega_k x_l$$

А это и есть $2(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}))$
Здесь для удобства обозначено $\boldsymbol{a}=\dot{\boldsymbol{r}}$

[Munin]

Что такое производная по вектору? Если это градиент, то см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_набла .

[Утундрий]

Munin в сообщении #898418 писал(а):

Что такое производная по вектору?

$$\[ \frac{{\partial L}} {{\partial \left\{ {a_x ,a_y ,a_z } \right\}}} \equiv \left\{ {\frac{{\partial L}} {{\partial a_x }},\frac{{\partial L}} {{\partial a_y }},\frac{{\partial L}} {{\partial a_z }}} \right\} \] $$

-- Пт авг 22, 2014 20:43:30 --

Nvcz в сообщении #898364 писал(а):

Наверное существуют какие-то правила, с помощью которых можно брать сразу такие вот производные по вектору от векторных выражений?

Быстрее и проще проделывать выкладки в компонентах, как olenellus.

P.S. Я подозреваю, что все так на самом деле и делают, но некоторые - т.н. инвариантщики - просто стесняются в этом признаться.

[Nvcz]

Спасибо за ответы.
Я подумал, что если всё же следовать логике векторных операций, то можно получить такой-же ответ, только уверенности в этих действиях у меня нет.

$\frac{\partial }{\partial \boldsymbol{r}} (\boldsymbol{\dot{r}} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})^2 = \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}} \boldsymbol{\dot{r}}^2 +2 \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\boldsymbol{\dot{r}} (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}) + \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})^2$

$\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}} \boldsymbol{\dot{r}}^2 = 0$ т.к. $\boldsymbol{\dot{r}}$ от $\boldsymbol{r}$ не зависит. Так-же не зависит от $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{\omega}$, поэтому

$2 \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\boldsymbol{\dot{r}} (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}) = 2 \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}} \boldsymbol{r}(\boldsymbol{\dot{r}} \times \boldsymbol{\omega}) = 2 \boldsymbol{\dot{r}} \times \boldsymbol{\omega}$

Дальше:
$\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})^2 = 2 (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}) \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})= -2 \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$
Вот здесь вообще у меня сомнения - я нагло взял это как производную от сложной функции, т.е. $\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})^2$ как $2 (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$ умножить на производную от $ (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$

[ewert]

Nvcz в сообщении #899641 писал(а):

я нагло взял это как производную от сложной функции, т.е. $\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})^2$ как $2 (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$ умножить на производную от $ (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$

Это действительно несколько нагло: в каком смысле квадрат-то? Но зато вот что в любом случае безусловно:

$$\textstyle\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]^2=\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\big([\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\cdot[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\big)=\big(\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\big)\cdot[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]+[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\cdot\big(\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\big)=2[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\cdot\big(\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}[\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}]\big)$$

[alcoholist]

Утундрий в сообщении #898456 писал(а):

Я подозреваю, что все так на самом деле и делают, но некоторые - т.н. инвариантщики - просто стесняются в этом признаться

даже здесь всё в инвариантном виде