Производящая функия для процессов рождения и гибели

[R_e_n]

Разбирал метод решения прямых уравнений Колмогорова для процессов рождения и гибели и дошел до абзаца:

Цитата:

Для производящей функции $F(s,t)=\sum_{x=0}^{+\infty}{P_{x}(t) \at s^{x}} $ прямые уравнения Колмогорова дают:
$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=(\lambda \at s^2 - (\lambda+\mu) \at s + \mu) \at \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}}$
Общее решение этого уравнения дается формулой:
$F(s,t)=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s} \at e^{-(\lambda-\mu) \at t})$
где $f(\at)$ - произвольная функция. Если положить $X(0)=x_{0}=1$, то $F(s,0)=s$, т. е.
$s=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s})$
Следовательно,
$f(\xi)=\frac {\mu-\xi}{\lambda - \xi}$.
Поэтому
$F(s,t)=\frac {\mu \at (1-e^{(\lambda-\mu) \at t})-(\lambda-\mu \at e^{(\lambda-\mu) \at t}) \at s}{(\mu-\lambda \at e^{(\lambda-\mu) \at t})-\lambda \at (1-e^{(\lambda-\mu) \at t}) \at s}$

Из книги Баруча-Рида "Элементы теории марковских процессов" на странице 107 http://bookre.org/reader?file=579963&pg=107

1. Объясните, пожалуйста, как они нашли общее решение.
2. У меня случай похуже:
$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=a(s,t) \cdot \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}} + b(s,t) \cdot F(s,t)
где $a(s,t), b(s,t)$ - некоторые функции.
Можно это как-то решить?

[V.V.]

Читайте про уравнения в частных производных первого порядка. Обычно при них пишут в учебниках про обыкновенные дифференциальные уравнения.

[R_e_n]

Да, спасибо. Я посмотрел, вроде вроде понял. То уравнение не стал дорешивать. Оно было составлено не правильно. Спустя две недели составил другое уравнение и снова вернулся к разбору этого примера. Мое решение не сходится с тем, что в учебнике. Не могли бы Вы подсказать?

$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=(\lambda \at s^2 - (\lambda+\mu) \at s + \mu) \at \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}}$
Общее решение этого уравнения дается формулой:
$F(s,t)=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s} \at e^{-(\lambda-\mu) \at t})$, где $f(\at)$ - любая дифференцируемая функция.

Я решаю так:
$\frac{dt}{ds}=\frac{-1}{\lambda \at s^2 - (\lambda + \mu) \at s + \mu} $
$dt=-1 \at (\frac{\lambda}{\lambda - \mu} \at \frac{ds}{\lambda \at s - \mu}-\frac{1}{\lambda - \mu} \at \frac{ds}{s - 1}) $
$t=\frac{1}{\lambda-\mu} \at \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) + C$
$(\lambda-\mu) \at t=\ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) + C$ Обозначим эту формулу $(1)$.
$(\lambda-\mu) \at t - \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) = C$
Ответ:
$F(s,t)=f((\lambda-\mu) \at t - \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}))$

Я так полагаю, что в учебнике формулу (1) просто в экспоненциальную степень возвели. Но там же $C$ мешает.

[ИСН]

Чему и каким образом оно мешает?

[R_e_n]

Да, спасибо, подставил, все сошлось:)

[R_e_n]

Я по-прежнему продолжаю пересоставлять свои уравнения. Может Вы что-то подскажите?

У меня есть $k$ типов объектов. Количество объектов каждого типа - целое неотрицательное число. Известно количество объектов каждого типа в начальный момент времени. Объекты могут переходить друг в друга. И могут появляться новые (рождаться).
Требуется посчитать ковариацию между количествами объектов двух произвольных типов в момент времени $t$ (время непрерывно).

Интенсивности рождения равны $\lambda_1$, $\lambda_2$ и $\lambda_3$. Интенсивности переходов: $a_{i,j}$ (некоторые интенсивности нулевые). В начальный момент количество объектов каждого типа равно $b_i$.


Пусть нужно посчитать ковариацию количества объектов первых двух типов. Я хочу посчитать совместную вероятность $P_{n_1, n_2,...,n_k}$ того, что количество объектов каждого типа равно $n_i$. А после просуммировать по всем $n_i$ при $i>2$:
$P_{n_1, n_2,...,n_k}(t)=\sum_{n_3=0}^{+\infty}\sum_{n_4=0}^{+\infty}...\sum_{n_k=0}^{+\infty}P_{n_1, n_2,...,n_k}(t)$

Пример, пусть есть три типа объектов. Прямые уравнения Колмогорова:

$\frac{\partial P_{n_1 ,n_2, n_3}(t)}{\partial t}=\lambda_1 \at (n_1-1) \at P_{n_1-1, n_2, n_3}(t)+\lambda_2 \at (n_2-1) \at P_{n_1, n_2-1, n_3}(t) + \lambda_3 \at (n_3-1) \at P_{n_1, n_2, n_3-1}(t)+a_{1,2} \at (n_1+1) \at P_{n_1+1,n_2-1,n_3}(t)+a_{2,3} \at (n_2+1) \at P_{n_1,n_2+1,n_3-1}(t)-(\lambda_1 \at n_1+\lambda_2 \at n_2 + \lambda_3 \at n_3 + a_{1,2} \at n_1+ a_{2,3} \at n_2) \at P_{n_1, n_2, n_3}(t) $

Дальше я перехожу к производящей функции:

$\frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial t}=(\lambda_1 \at x^2-\lambda_1 \at x+a_{1, 2} \at y) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)(t)}{\partial x}+(\lambda_2 \at y^2-\lambda_2 \at y+a_{2, 3} \at z) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial y} (\lambda_3 \at z^2-\lambda_3 \at z) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial z} $

Дальше я пользуюсь методом характеристик, нахожу решение в виде:
$F(t,x,y,z)=f(.,.,.)$
Пользуюсь начальным условием:
$F(0,x,y,z)=f(.,.,.)=x^{b_1} \at y^{b_2} \at z^{b_3}$

Но есть некоторые проблемы:
типов объектов у меня не 3, а 20, поэтому характеристики получаются сложными функциями, не понятно как их обратить, чтобы выполнялось граничное условие.

Я описал пример, чтобы Вы посмотрели в правильном ли я вообще направлении двигаюсь? Может есть какие-то альтернативные способы вывода?
Мне нужно посчитать либо $P_{n_1,n_2}(t)$ либо $E_{n_1,n_2}(t)$.

По идее если производящая функция $F(t,x_1,x_2,x_3,...,x_k)$, то надо посчитать: $ \frac {\partial^2 F(t,x_1,x_2,1,...,1)}{\partial x_1 \partial x_2} - это будет совместное математическое ожидание количеств объектов первого и второго типа.

Можете ли Вы что-нибудь предложить?