Доказать неравенство.

[belo4ka]

$(a+b+c)(\frac{1}a+\frac 1b +\frac 1c)\geqslant 9$

$a,b,c$ -- положительные числа.

Как это можно примерно доказать?

Можно привести к общему знаменателю.

$\dfrac{2(a+b+c)^2}{abc}\geqslant 9$

или $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\geqslant 4,5 abc$

Но как тут дальше?

[Shadow]

Еще в начале, воспольнуйтес тем, что $u+\frac 1 u \ge 2$

[Nemiroff]

Вот такое умеете доказывать?

$$x + \frac{1}{x}\geqslant 2$$

[nikita111]

Это неравенство легко можно свести к утверждению о том,что среднее гармоническое не превосходит среднее арифметическое.Подумайте как это сделать.

[belo4ka]

Nemiroff в сообщении #898710 писал(а):

Вот такое умеете доказывать?

$$x + \frac{1}{x}\geqslant 2$$

Да, это очевидно, там полный квадрат будет, который неотрицателен. А как это здесь может помочь?

-- 23.08.2014, 13:53 --

nikita111 в сообщении #898712 писал(а):

Это неравенство легко можно свести к утверждению о том,что среднее гармоническое не превосходит среднее арифметическое.Подумайте как это сделать.

$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \dfrac{3}{\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c}$

Но как теперь это доказать?

[Nemiroff]

belo4ka в сообщении #898726 писал(а):

А как это здесь может помочь?

В своём неравенстве скобки раскройте.

[belo4ka]

Nemiroff в сообщении #898730 писал(а):

belo4ka в сообщении #898726 писал(а):

А как это здесь может помочь?

В своём неравенстве скобки раскройте.

А все ясно с задачей, спасибо .