найти период функции

[tlakopan]

Вот что-то не получается.
$\sin{x} + \cos{\frac{x}{2}} + 1 = \sin{x} + \sqrt{\frac{1 + \cos{x}} {2}} + 1 = \frac{\sqrt{2} \sin{x} + \sqrt{1 + \cos{x}} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \sin{x} + \sqrt{\cos^2{x} + \sin^2{x} + \cos{x}} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

[demolishka]

Вот есть у нас две функции $f$ и $g$ с периодами $T_1$ и $T_2$ соответственно. Что можно сказать о периоде их суммы $f+g$?

[Sonic86]

demolishka в сообщении #893643 писал(а):

Вот есть у нас две функции $f$ и $g$ с периодами $T_1$ и $T_2$ соответственно. Что можно сказать о периоде их суммы $f+g$?

Ничего.

tlakopan в сообщении #893642 писал(а):

Вот что-то не получается.

Ну график хотя бы нарисуйте, сформулируйте гипотезу.
Преобразования у Вас верны не для всех $x$. Вам преобразовывать-то особо не надо. Что такое период? Попробуйте его по определению найти, например.

[iifat]

Sonic86 в сообщении #893647 писал(а):

Ничего

Неужели? В некоторых частных случаях таки можем, нет? Например, в данном.

[Sonic86]

iifat в сообщении #893674 писал(а):

Sonic86 в сообщении #893647 писал(а):

Ничего

Неужели? В некоторых частных случаях таки можем, нет? Например, в данном.

В общем - ничего сказать не можем. В частных случаях - можем. Только надо частный случай описать четко и провести рассуждение. А то уже при $g=-f$ получаются проблемы.

[tlakopan]

Sonic86 в сообщении #893647 писал(а):

Попробуйте его по определению найти, например.

Так. По определению $f \left( x + T \right) = f\left(x \right)$.
$\sin\left( x + T_{1}\right) + \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{T_{2}}{2}\right) + 1$
$T_{1} = 2 \pi, \frac{T_{2}}{2} = 2\pi \Rightarrow T_{2} = 4 \pi$.
Поскольку $T_{2}$ кратно $T_{1}$, то можем сказать что $T_{2}$ поглащает $T_{1}$. Таким образом период функции $T = 4 \pi$. Предполагаю что период константы равен нулю.

Верно?

[Red_Herring]

tlakopan в сообщении #898496 писал(а):

Верно?

Полученная функция действительно периодична с периодом $4\pi$. Но для полноты следует доказать, что это--минимальный период (т.е. ни с каким меньшим периодом периодичности не будет).

[tlakopan]

Red_Herring
а как это делается? Покажите, пожалуйста.

[Red_Herring]

tlakopan в сообщении #898599 писал(а):

а как это делается?

Вообще-то по определению. Но в данном случае совсем просто: если Ваша ф-я $f(x)$ периодична с периодом $T$, то и $f''+f=\frac{3}{4}\cos(\frac{x}{2}) $ тоже периодична с периодом $T$, и тогда $T$ кратен $4\pi$.