Коммутативные и ассоциативные операции

[1r0pb]

Пусть $B\subset A$ и каждый элемент из $A$ можно представить в виде композиции некоторых элементов из $B.$ Показать, что если условие коммутативности (ассоциативности) выполняется для любых элементов из $B,$ то операция на $A$ будет коммутативной (ассоциативной).
Что имеем: $B\ -$ подмножество $A,$ и, как я понимаю, $F:\ B\rightarrow A,\ f(b)=a.$
Спасибо.

[mihailm]

Напишите условие коммутативности в $A$

[1r0pb]

mihailm в сообщении #897919 писал(а):

Напишите условие коммутативности в $A$

Если на память, то так: $\forall x,y,z\in A:\ x\bigcirc (y\bigcirc z)=(x\bigcirc y)\bigcirc z. $

[mihailm]

1r0pb в сообщении #897924 писал(а):

Если на память, то так: $\forall x,y,z\in A:\ x\bigcirc (y\bigcirc z)=(x\bigcirc y)\bigcirc z. $

(Оффтоп)

Клевый кружок для операции)

Это называется сочетательный закон, давай еще какое нить условие

[1r0pb]

mihailm согласен - большеват.))
Тьфу...поспешил. Я же ассоциативность написал, а коммутативность:

$\forall a_{1},a_{2}\in A:\ a_{1} \circ a_{2}=a_{2} \circ a_{1}.$

[mihailm]

теперь выразите $a_1$ и $a_2$ через элементы из $B$

[1r0pb]

mihailm в сообщении #897976 писал(а):

теперь выразите $a_1$ и $a_2$ через элементы из $B$

$f(b_1)=a_1,\ f(b_2)=a_2.$

[mihailm]

1r0pb в сообщении #897917 писал(а):

...и каждый элемент из $A$ можно представить в виде композиции некоторых элементов из $B.$...

Как это вы понимаете?

[1r0pb]

Аа... Может, например, так: $a_1=b_2\circ b_9\circ b_5?$

[mihailm]

сойдет, можно уже подставлять и доказывать коммутативность

[1r0pb]

Пусть $a_1,a_2,a_3\ -$ произвольные элементы множества $A.$ Тогда
${a}_{1}={b}_{i}\circ {b}_{j},\ {a}_{2}={b}_{k}\circ {b}_{l},\ {a}_{3}={b}_{m}\circ {b}_{n},\ 1\leq (i,j,k,l,m,n)\leq |B|.$
Имеет смысл дальше продолжать?

[mihailm]

Если понятно, то не надо

[1r0pb]

$a_1\circ a_2=b_i\circ b_j\circ b_k\circ b_l=b_i\circ b_k\circ b_j\circ b_l=b_k\circ b_i\circ b_l\circ b_j=b_k\circ b_l\circ b_i\circ b_j=a_2\circ a_1.$ Примерно так?

[mihailm]

да

[1r0pb]

Ну ассоциативность не буду расписывать, раз такое дело.
mihailm спасибо Вам.