Размерность Крулля кольца

[OlgaD]

Возникло два вопроса по размерности Крулля.
1. Известно, что размерность Крулля кольца $R$ совпадает с размерностью топологического пространства $\operatorname{Spec}R.$ Хотелось бы уточнить: это равенство справедливо только в конечном случае или и в случае бесконечных размерностей?
2. У Шафаревича есть следующее понятие размерности произвольного нетерового локального кольца $\mathcal{O}$ с максимальным идеалом $\mathfrak{m}:$ это наименьшее число таких элементов $u_1,\ldots,u_r\in\mathfrak{m},$ что $(u_1,\ldots,u_r)\supset\mathfrak{m}^k$ при некотором $k>0.$ Это определение размерности Крулля для нетерового локального кольца или нет? В книге термин "размерность Крулля" не используется.