Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра

[vanger]

Да, действительно, кривизна даёт только второй порядок производных:

$$ \widetilde R = \frac{1}{\lambda^2} \left[ R - 2 (d-1) \Box \ln \lambda - (d-1) (d-2) \left( \nabla^a \ln \lambda \right) \nabla_a \ln \lambda \right] $$

(поднятие индексов и связность -- по немасштабированной метрике). Надо подумать, что не так.

(Оффтоп)

Понятно. А я писал с $$, и на это выдавалась ошибка.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #896548 писал(а):

Как-то не очевидно, что всякое конформное уравнение может быть получено из некоторого вариационного принципа.

А зачем же нам всякое? Просто если под $\varphi$ понимать физическое поле, то логично начинать с Лагранжиана.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #897049 писал(а):

А зачем же нам всякое?

Да просто, если рассматривать, так сразу уж всякое. А то вдруг что-то интересное пропустим?

[Утундрий]

Завис на оконформливании $\square h_{\left( {\mu \nu } \right)} $ и $\square ^2 \phi $. И, похоже, $\square v^\mu $ неправильно оконформил. Надобно выспаться... А пока изложу коротко свой подход, основанный на подкупающем своей простотой методе "тупо подставляй и упрощай".

Конформное преобразование метрики $\tilde g_{\mu \nu } = e^\Omega g_{\mu \nu } $, где $\Omega$ - всюду ограничена, инспирирует преобразования связности $\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \Gamma _{\mu \nu }^\alpha + \Delta _{\mu \nu }^\alpha $ и кривизны $\tilde R_{\beta \mu \nu }^\alpha = R_{\beta \mu \nu }^\alpha + K_{\beta \mu \nu }^\alpha $, где

$$\Delta _{\mu \nu }^\alpha \equiv \frac{1} {2}\left( {\delta _\mu ^\alpha \Omega _{;\nu } + \delta _\nu ^\alpha \Omega _{;\mu } - g_{\mu \nu } \Omega ^{;\alpha } } \right) $$

$$K_{\beta \mu \nu }^\alpha \equiv \Delta _{\beta \nu ;\mu }^\alpha + \Delta _{\gamma \mu }^\alpha \Delta _{\beta \nu }^\gamma - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle $$

Здесь и далее символ $\left\langle {\mu \nu } \right\rangle $ означает предыдущее выражение с переставленными индексами $\mu$ и $\nu $. Действует он только в пределах блока (в скобках, например).

Если рассмотреть некоторое поле $\phi$, преобразующееся следующим образом $\tilde \phi = e^{\kappa \Omega } \phi $, и посмотреть на поведение его производной, то мы увидим $\tilde \phi _{;\mu } = e^{\kappa \Omega } \left( {\phi _{;\mu } + \kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)$.

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы мотивировать следующее

Обозначение
Мы будем говорить, что

$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi $$

Если и только если $\tilde f = e^{\alpha \Omega } \left( {f + \varphi } \right)$, причём $\varphi $ содержит только производные функции $\Omega$.

Перепишем фигурировавшие выше формулы и некоторые их следствия в новых обозначениях:

$$g_{\mu \nu } \xrightarrow{1}0$$

$$g^{\mu \nu } \xrightarrow{{ - 1}}0$$

$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha \xrightarrow{0}\Delta _{\mu \nu }^\alpha = \frac{1}{2}\left( {\delta _\mu ^\alpha \Omega _{;\nu } + \delta _\nu ^\alpha \Omega _{;\mu } - g_{\mu \nu } \Omega ^{;\alpha } } \right)$$

$$R_{\beta \mu \nu }^\alpha \xrightarrow{0}K_{\beta \mu \nu }^\alpha = \frac{1}{2}\left( {\Omega _{;\beta \mu } \delta _\nu ^\alpha + g_{\beta \mu } \Omega ^{;\alpha } _{;\nu } } \right) + \frac{1}{4}\delta _\mu ^\alpha \left( {\Omega _{;\beta } \Omega _{;\nu } - g_{\beta \nu } \Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right) + \frac{1}{4}g_{\beta \nu } \Omega _{;\mu } \Omega ^{;\alpha } - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle $$

$$R_{\mu \nu } \xrightarrow{0}K_{\mu \nu } \equiv \left( {1 - \frac{d}{2}} \right)\Omega _{;\mu \nu } - \frac{1} {2}g_{\mu \nu } \square \Omega + \frac{{d - 2}}{4}\left( {\Omega _{;\mu } \Omega _{;\nu } - g_{\mu \nu } \Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right)$$

$$R\xrightarrow{{ - 1}}\left( {1 - d} \right)\left( {\square \Omega + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right), \quad d \equiv \delta _\alpha ^\alpha$$

Как видно, новое обозначения зело избавляет от написательства излишних букв и скобок. Непосредственно из определения вытекают простые правила

$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi \Rightarrow f'\xrightarrow{\alpha }\varphi ' + \alpha \left( {f + \varphi } \right)\Omega '$$

$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi ,g\xrightarrow{\alpha }\gamma \Rightarrow f + g\xrightarrow{\alpha }\varphi + \gamma $$

$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi ,g\xrightarrow{\beta }\gamma \Rightarrow fg\xrightarrow{{\alpha + \beta }}f\gamma + \varphi g + \varphi \gamma $$

В высказывании $f\xrightarrow{\alpha }\varphi $ показатель $\alpha $ будем называть степенью (что естественно, так как это и есть степень в которую возводится множитель $e^\Omega $), а величину $\varphi$ будем называть хвостом (что не менее естественно, так как при перемножении хвосты перепутываются). Бесхвостое выражение $f$ (то есть такое, что $f\xrightarrow{\alpha }0$ с некоторым $\alpha$) является, очевидно, конформно инвариантным. Другими словами, хочешь конформной инвариантности - руби хвосты!

Рассмотрим на примере, как это делается. Пусть дано некоторое скалярное поле с законом преобразования $\phi \xrightarrow{\kappa }0$. Тогда

$$\phi _{;\mu } \xrightarrow{\kappa }\kappa \phi \Omega _{;\mu } $$

$$\phi _{;\mu \nu } \equiv \phi _{;\mu ,\nu } - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha \phi _{;\alpha } $$

$$\phi _{;\mu ,\nu } \xrightarrow{\kappa }\left( {\kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)_{,\nu } + \kappa \left( {\phi _{;\mu } + \kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)\Omega _{;\nu } $$

$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha \phi _{;\alpha } \xrightarrow{{0 + \kappa }}\Gamma _{\mu \nu }^\alpha \left( {\kappa \phi \Omega _{;\alpha } } \right) + \Delta _{\mu \nu }^\alpha \left( {\phi _{;\alpha } + \kappa \phi \Omega _{;\alpha } } \right)$$

$$\phi _{;\mu \nu } \xrightarrow{\kappa }\kappa \left( {\phi _{;\mu } \Omega _{;\nu } + \phi _{;\nu } \Omega _{;\mu } } \right) - \Delta _{\mu \nu }^\alpha \phi _{;\alpha } + \kappa \phi \left( {\Omega _{;\mu \nu } - \Delta _{\mu \nu }^\alpha \Omega _{;\alpha } + \kappa \Omega _{;\mu } \Omega _{;\nu } } \right)$$

$$\square \phi \xrightarrow{{\kappa - 1}}\left\{ {2\kappa - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\phi _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } + \kappa \phi \left( {\square \Omega + \left\{ {\kappa - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\Omega _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } } \right)$$

Заметим теперь, что

$$R\phi \xrightarrow{{k - 1}}\left( {1 - d} \right)\phi \left( {\square \Omega + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right)$$

Степени у этих выражений одинаковы, а это значит что их можно линейно комбинировать. Так что имеем

$$\left( {\square + \xi R} \right)\phi \xrightarrow{{k - 1}}\left\{ {2\kappa - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\phi _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } + \phi \left[ {\left\{ {\kappa + \xi \left( {1 - d} \right)} \right\}\square \Omega + \left\{ {\kappa \left( {\kappa - 1 + \frac{d}{2}} \right) + \xi \left( {1 - d} \right)} \right\}\Omega _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } } \right]$$

Приравнивая нулю фигурные скобки, находим единственное решение

$$\kappa = - \frac{d-2}{4}, \quad \xi = - \frac{1}{4}\frac{{d - 2}}{{d - 1}}$$

Или, другими словами, $\left( {\square - \frac{1}{4}\frac{{d - 2}}{{d - 1}}R} \right)\phi \xrightarrow{{ - \frac{{d + 2}}{4}}}0$ при $\phi \xrightarrow{{ - \frac{{d - 2}}{4}}}0$ и $g_{\mu \nu } \xrightarrow{1}0$.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #897187 писал(а):

Конформное преобразование метрики $\tilde g_{\mu \nu } = e^\Omega g_{\mu \nu } $, где $\Omega$ - всюду ограничена, инспирирует преобразования

...

$$R\xrightarrow{{ - 1}}\left( {1 - d} \right)\left( {\square \Omega + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right), \quad d \equiv \delta _\alpha ^\alpha$$

Значит если дилатонное поле $\Omega$ обуздать уравнением:

$${\square \Omega + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } = 0$$

которое, кстати, доставляет экстремум (по $\Omega$) дилатонному действию:

$$S_{\Omega} = \frac{1}{2} \int g^{\mu \nu} \; \partial_{\mu} \Omega \; \partial_{\nu} \Omega \; \exp\left(\frac{d-2}{2}\Omega\right) (\ldots) \sqrt{-g} \; d_d x$$

то скалярная кривизна $R$ относительно таким образом обузданной дилатации станет бесхвостной, поэтому из неё можно будет построить лагранжиан а-ля Гильберта. Что при $d=4$ позволяет всего из двух полей: метрики $g_{\mu \nu}$ и дилатона $\Omega$ построить конформно-инвариантное относительно обузданного $\Omega$ действие в каком-то смысле обобщающее действие Гильберта:

$$S = \frac{1}{2} \int g^{\mu \nu} \; \partial_{\mu} \Omega \; \partial_{\nu} \Omega \; \exp\left(\Omega\right) \; R \; \sqrt{-g} \; d_4 x$$

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #897344 писал(а):

скалярная кривизна $R$ относительно таким образом обузданной дилатации станет бесхвостной, поэтому из неё можно будет построить лагранжиан а-ля Гильберта.

А как связана конформная инвариантность с возможностью применения вариационного принципа?

P.S. И вообще, вопрос ко всем и пошире. Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения? Раньше я, бывало, прохожу мимо конформно инвариантного уравнения и думаю - о, конформно инвариантное уравнение! Углы, значицца, сохраняюцца! И дальше пошёл... Сейчас вот вижу, что изрядное опустошение они производят посреди всех мыслимых ковариантных. Прямо как правила отбора. Понять бы только - отбора чего

[vanger]

Утундрий, спасибо за подробный ответ! Обозначения понравились :) Я сейчас в своих изысканиях немного вбок отошёл, но через какое-то конечное время (порядка недели) вернусь в этому вопросу и, думаю, предъявлю (предположительно) правильное уравнение четвёртого порядка (по-крайней мере, без очевидных ляпов, типа несовпадения числа производных масштабного фактора).

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #897187 писал(а):

Надобно выспаться...

Кстати, да :)

[Утундрий]

(Оффтоп)

vanger в сообщении #897532 писал(а):

через какое-то конечное время (порядка недели) вернусь в этому вопросу и, думаю, предъявлю (предположительно) правильное уравнение четвёртого порядка

Берусь предъявить раньше

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #897529 писал(а):

А как связана конформная инвариантность с возможностью применения вариационного принципа?

Я на другом акцентирую. Ежели в консерватории ничего не менять, то когда есть физические поля, тогда есть и Лагранжиан. И наоборот, если уравнения движения "полей" не вариационные, то непонятно откуда почерпнуть уверенность в том, что это вообще имеет отношение к физике.

Утундрий в сообщении #897529 писал(а):

Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения?

Думается, что после того как Белавин, Поляков, Замолодчиков порешили двумерную конформно инвариантную квантовую теорию поля (BPZ, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory), конформно инвариантная тема дисертационно-защитибельна, обросла пенсионерами и стала достопримечательностью для туристов.

[vanger]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #897580 писал(а):

Берусь предъявить раньше

Буду только рад! :)

Утундрий в сообщении #897529 писал(а):

И вообще, вопрос ко всем и пошире. Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения?

Кстати, да, с удовольствием бы тоже послушал. Т.к. сам, кроме общих слов про дуальности, струны и решаемость двумерных теорий, ввиду бесконечномерности симметрии, ничего сказать не могу. Возможно, type2b что-нибудь интересное мог бы сказать, или указать на обзоры (с таким-то ником :)).

[schekn]

Утундрий

(Оффтоп)

Эко Вас в этом месяце прорвало