Линейный оператор, обратный оператор, нулевой элемент

[kis]

Цитата:

Если линейный оператор $A$ имеет обратный $A^{-1}$, то из условия $Ax = 0$ следует, что $x=0$

Помогите, пожалуйста, обосновать это утверждение.
Из определения обратного оператора $A^{-1} A x = x$. Например, $A^{-1} A 0 = 0$. Но если $Ax=0$ и $\exists A^{-1}$, то почему $x=0$?

[cool.phenon]

Вы линейностью еще не пользовались. Попробуйте с ней покрутить

[ewert]

Линейность нужна при доказательстве обратного утверждения, а здесь достаточно ма-аленького кусочка линейности -- всего лишь того, что заведомо $A0=0$.

[kis]

а, понял. $ \forall x \in V: A(\theta) = A(0x) = 0 A(x) = \theta$. Спасибо

[Evgenjy]

$x=A^{-1}Ax=A^{-1}0=0$