Выигрышный билет, поле брани.

[boriska]

1) На поле брани сошлась армия поклонников рока и армия поклонников попсы.
По 1000 человек в каждой. Сначала каждый поклонник рока выстрелил только в одного поклонника попсы.
Затем каждый уцелевший поклонник попсы, выстрелил в поклонника рока.
а) Докажите, что посе этого осталось в живых не менее 1000 человек.
б) Затем каждый уцелевший поклонник рока вновь выстрелил в поклонника попсы.
Докажите, что после этого осталось не менее 500 человек в живых.

а) Вроде как очевидно. Но объяснить русским языком сложно. Можно ли просто сказать, что было сделано 1000 выстрелов, значит погибло 1000 и менее человек? Можно ли считать это док-вом?
б) Тоже, вроде как очевидно, но обосновать русским языком не получается. Раз после пункта а) уцелела 1000 человек, то будет сделано 500 выстрелов или менее, значит уцелеет ровно 500 человек или более.

2) Билет называется выигрышным, если сумма первых трех цифр, равна сумме трех последних.
Докажите, что кол-во выигрышных билетов от $000000$ до $999999$ равно количествую билетов с суммой цифр 27.

Я тут подозреваю, что задача как-то связано с делимостью на 9 и/или делимостью на 3. Но как как начать?

[mihailm]

1)а) Пусть после первого раунда в живых осталось $k$ человек. Дальше сами

(Оффтоп)

Вот интересно где и кто такие задачи задает? Это влияние операции "Нерушимая скала" или украинской войны?

[Skeptic]

Если стрелять без промаха, то после 1000 выстрелов все стрелки живы, а отвечать некому.

[nnosipov]

boriska в сообщении #895222 писал(а):

Билет называется выигрышным, если сумма первых трех цифр, равна сумме трех последних.

Такой билет всегда называли счастливым.

boriska в сообщении #895222 писал(а):

Я тут подозреваю, что задача как-то связано с делимостью на 9 и/или делимостью на 3.

Если и связана, то как-то очень искусственно. Здесь достаточно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством счастливых билетов и множеством билетов, сумма цифр которых равна 27.

Вообще, про эту классическую задачу (как подсчитать число счастливых билетов) много чего написано, например в журнале "Квант" (вспоминается статья с названием "Интегралом по счастливым билетам").

[boriska]

Я понял, что если сопоставить счастл. билету $abcdef$ билет $abc(9-d)(9-e)(9-f)$, то получится билет с суммой цифр $27$. Но почему именно взаимно-однозначное соответствие? Может помимо чисел, получившихся таким трюком найдутся еще какие-то числа с суммой цифр 27. То есть кажется. что чисел с суммой цифр 27 может быть больше, чем таких $$abc(9-d)(9-e)(9-f)$ чисел.

[Cash]

А Вы взгляните под другим углом. Возьмите билет с суммой цифр 27, найдите соответствующий ему билет по Вашему преобразованию и посмотрите - будет ли этот билет счастливым?

[boriska]

Cash в сообщении #895793 писал(а):

А Вы взгляните под другим углом. Возьмите билет с суммой цифр 27, найдите соответствующий ему билет по Вашему преобразованию и посмотрите - будет ли этот билет счастливым?

А, все, разобрался, спасибо.

[Palex]

boriska в сообщении #895792 писал(а):

Я понял, что если сопоставить счастл. билету $abcdef$ билет $abc(9-d)(9-e)(9-f)$, то получится билет с суммой цифр $27$. Но почему именно взаимно-однозначное соответствие? Может помимо чисел, получившихся таким трюком найдутся еще какие-то числа с суммой цифр 27. То есть кажется. что чисел с суммой цифр 27 может быть больше, чем таких $$abc(9-d)(9-e)(9-f)$ чисел.

А ведь и верно:
Количество "абсолютно счастливых" билетов равно количеству "абсолютно несчастных" билетов, где цифры левой части дополняют цифры правой части до 9:
$abc(9-a)(9-b)(9-c)$

[toliktkm]

По поводу выстрелов. Была такая задачка в книжке "смекалка для малышей" автор Асанин:
1. В двух ящиках лежало по 20 ножниц.
2. Из первого взяли несколько ножниц.
3. Из второго взяли столько, сколько осталось в первом.
4. сколько ножниц осталось в сумме в двух ящиках?
Я эту книжицу зачитал до дыр. Данную задачу ненавидел всеми фибрами души, потому как разобраться в ней оооочень долго не мог.
Очень советую всем, даже взрослым:

[azmt]

Ответ: 20