Чем отличается замкнутое множество от ограниченного??

[Oleg Zubelevich]

а при чем тут это? любое топологическое пространство является замкнутым ( и открытым одновременно)

[Dosaev]

Хорошо, а неограниченное подмножество?

[Oleg Zubelevich]

вот прямая и является неограниченым подмножеством самой себя

-- Вт авг 12, 2014 20:02:47 --

а еще прямая является замкнутым неограниченным подмножеством плоскости (относительно стандартной метрики)

[Dosaev]

(Оффтоп)

Вот хотел добавить собственное, но подумал, что не стоит.

Вот луч $[a; +\infty) \subset \mathbb{R}$ будет замкнутым? Я понимаю, что можно взять дополнение и оно будет открытым. Но ведь $+\infty \not \in.$лучу

[Oleg Zubelevich]

Dosaev в сообщении #895669 писал(а):

Вот луч $[a; +\infty) \subset \mathbb{R}$ будет замкнутым?

да

Dosaev в сообщении #895669 писал(а):

Но ведь $+\infty \not \in \mathbb{R}.$

и что? определение замкнутости посмотрите

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #895670 писал(а):

и что? определение замкнутости посмотрите

Мне хочется разобраться с бесконечностью и определением (или следствием определения) замкнутости через предельные точки. Вот бесконечность - предельная точка? Правильно? Но ее не включают в множество. Но при этом множество - замкнуто. Как так?

[Oleg Zubelevich]

Dosaev в сообщении #895671 писал(а):

Вот бесконечность - предельная точка? Правильно?

неправильно, бесконечность не содержится в топологическом пространстве $\mathbb{R}$.

[Dosaev]

Oleg Zubelevich
Спасибо! Вопрос снят.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим полуинтервал $X=[0,1)\subset \mathbb{R}$. В $X$ можно индуцировать топологию из $\mathbb{R}$ и тогда $X$ это отдельное топологическое пространство, которое является замкнутым (как любое топ. пространство. Однако $X$ можно рассматривать как подмножество топологического протранства $\mathbb{R}$ и тогда, $X$ не является замкнутым подмножеством $\mathbb{R}$

[Dosaev]

Тогда еще маленький вопрос:
вот берем последовательность $x_k = k$, $k \in N$. Бывает пишут, что $x_k \to +\infty$ при $k \to \infty$, тогда естественно полагать, что $+\infty$ - предельная точка последовательности $x_k$. Но как выше мы выяснили $+\infty \not \in$ топологическому пространству $\mathbb{R}$, т.е $\{x_k\}$ расходится в $\mathbb{R}$. Так более корректно?

[Oleg Zubelevich]

да, так. Другое дело, что в множестве $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ можно ввести топологию , которая на $\mathbb{R}$ индуцирует стандартную топологию и замыкание $\mathbb{R}$ в $\overline{\mathbb{R}}$ дает $\overline{\mathbb{R}}$