Ур. Лапласа в сложной области/задача о потенциале

[Sadaharu]

Всем добрый день.

Мой научный руководитель поставил передо мной задачу, постараюсь сформулировать ее наиболее точно и ясно для форумчан.

Дано:
1. Плоская металлическая пластина, сложной (составленная из прямоугольников) формы. Сопротивление постоянно, геометрические размеры известны.
2. Слева-вверху к пластине приложен потенциал 100В, справа-сверху 0В (см. рисунок)

Необходимо:
1. Получить значения потенциала с достаточной точностью для практических рассчетов (погрешность до 5%)
2. По возможности апроксимировать с достаточной точностью и получить функцию (ряд) $f(x,y)$

Решение:
Необходимо решить уравнение $\frac{d^2 f}{d x^2}+\frac{d^2 f}{d y^2} =0$
С граничными условиями:
1. Там где приложен потенциал: $f=100, f=0$ соотвественно
2. У вертикальных краев пластины:$\frac{d f}{d x}=0$
3. У горизонтальных краев пластины:$\frac{d f}{d y}=0$

Теперь прошу совета, как это лучше всего сделать:
1. На какие численные методы обратить внимание?
2. Какую литературу изучить?
3. Какие программные продукты изучить?

[V.V.]

Есть альтернирующий метод Шварца, основанный на разбитии области сложной формы на подобласти простой формы.

[sithif]

В Wolfram Mathematica начиная с версии 10. появился FEM (метод конечных элементов). Подробнее можно посмотреть в справке Mathematica: FEMDocumentation/tutorial/FiniteElementOverview и FEMDocumentation/tutorial/FiniteElementProgramming, также по ссылке.

Вот что получилось для (примерно) вашего случая (задал только потенциалы электродов, судя по картинке, условия для производных тоже выполняются):

код Mathematica:

(Оффтоп)

Needs["NDSolve`FEM`"]
domain = ImplicitRegion[(0. <= x <= 1. && 0 <= y <= 5) ||(1. <= x <=  1.5 && 0 <= y <= 4.5 ) || (1.5 <= x <= 2. && 0 <= y <= 1) ||(2. <= x <= 4. && 0 <= y <= 4.5 ) ||(4. <= x <=  5. && 0 <= y <= 5 ),{x,y}];
region = ToBoundaryMesh[#] & @ ImplicitRegion[(0. <= x <= 1. && 0 <= y <= 5) ||(1. <= x <=  1.5 && 0 <= y <= 4.5 ) || (1.5 <= x <= 2. && 0 <= y <= 1) ||(2. <= x <= 4. && 0 <= y <= 4.5 ) ||(4. <= x <=  5. && 0 <= y <= 5 ),{x,y}];
mesh = ToElementMesh[region];
g1 = mesh["Wireframe"]
eq = Laplacian[u[x,y],{x,y}]==0 ;
a = DirichletCondition[u[x,y]==100.,0.<= x<= 1. && y == 5.] ;
b = DirichletCondition[u[x,y]==0.,4.<= x<= 5. && y == 5.] ;
sol = NDSolveValue[{eq==0,a,b},u,{x,y}\[Element] domain, AccuracyGoal->MachinePrecision, PrecisionGoal->MachinePrecision];
g2 = ContourPlot[sol[x,y],{x,y}\[Element]domain,ColorFunction->"Temperature",AspectRatio->Automatic,Contours->20,MaxRecursion->2,PlotLegends->Automatic]

Цитата:

2. По возможности апроксимировать с достаточной точностью и получить функцию (ряд) ...

В Mathematica решение будет доступно в виде функции, поэтому ряд вам скорее всего не понадобится.

[mishafromusa]

Sadaharu, советую познакомиться с теорией функций комплексной переменной, в особенности с конформными отображенями и формулой Кристоффеля-Шварца. В Матлабе есть готовые программы, которые всё это считают. Неплохо почитать про вариационные методы для краевых задач для уравнения Лапласа и в частности про метод конечных элементов. Ещё Ваша задача может быть сведена к интегральному уравнению на границе, может это будет быстрее считать, хотя не думаю, что это важно в этом конкретном случае. Обратите внимание, что около внутренних углов 270° потенциал меняется особенно быстро, и значит пластинка в этих местах будет больше нагреваться. Это потому, что потенциал в таких углах имеет особые точки.

-- 12.08.2014, 21:00 --

sithif, что-то у Вас щель слишком широкая, как и перешеек под ней, а пластинка слишком короткая. Для картинки из вопроса потенциал слева и справа от щели будет меняться мало, а на перешейке под щелью -- наоборот очень быстро, что, впрочем, наблюдается и в Вашей картинке, но в меньшей степени.