2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение26.07.2014, 08:15 


06/12/13
275
Может быть, такой вопрос будет более понятным. Пусть $C\subset\mathbb{P}^n$ - проективная кривая и $I(C)=\{f\in k[x_0,\ldots,x_n]|f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0\;\mbox{для всех}\;(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)\}$ - ее однородный идеал. Его можно представить в виде $$I(C)=\bigoplus\limits_{m\geqslant 1}I_m(C),$$ где $I_m(C)$ - линейное пространство однородных многочленов степени $m$ от $x_0,\ldots,x_n,$ равных нулю на $C.$ Утверждается, что если кривая $C$ невырождена, то $I_1(C)=0$ и схемное пересечение кривой содержит гиперповерхности $\{f_i=0\}$ степени $\geqslant 2.$ Мне не совсем понятно, почему нужно выбрасывать однородные многочлены первой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 02:06 


15/01/09
549
Вы уверены, что утверждается, что из невырожденности следует $I_1(C) = 0$? Если взять $n=2$ и $C = \mathbb P^1$, то будет $I_1(C) \neq 0$. Может быть, Вы спутали это условие с неиррелевантностью идеала $I(C)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 07:52 


06/12/13
275
нет, не спутала...практически перепечатала текст как есть. Вот мне и не понятно, зачем выкидывать пространство $I_1(C)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:11 


15/01/09
549
Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:33 


06/12/13
275
Nimza в сообщении #895500 писал(а):
Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

Почему "включено"? В условии невырожденности должно быть еще что-то помимо этого? :oops:
Не совсем поняла почему присутствие линейной функции должно приводить к вырожденности кривой? Можете объяснить поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:43 


15/01/09
549
Мне показалось, что ещё неособость требовалась, но наверно, я проглядел. Если для однородного идеала $I \subset k[x_0,\ldots,x_n]$ обозначить
$$
  V(I) = \{ [\alpha_0 : \ldots :\alpha_n] \colon f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0 \; \forall f \in I \},
$$
то выполнено $V(I(C)) = C$. В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 12:46 


06/12/13
275
Nimza в сообщении #895505 писал(а):
В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

Нет, не проглядели. Кажется, я начала понимать. Линейная функция, равная тождественно нулю на кривой $C,$ - это линейная зависимость между координатами, следовательно можно одну из координат вообще исключить из всех образующих идеала. Тогда действительно получаем, что кривая $C$ лежит в некотором подпространстве $\mathbb{P}^n.$ Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 12:57 


15/01/09
549
Только всё намного проще, множество нулей линейной функции задаёт подпространство размерности $(n-1)$ (просто по определению), а $C$ просто лежит в этом множестве нулей, то есть в этом подпространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 13:17 


06/12/13
275
Да, наверное. Я имела в виду другое. У автора не предполагается, что однородный идеал кривой задается обязательно однородными многочленами. Хотя, конечно, такой базис обязательно существует. Имелось в виду, в частности, что нет таких образующих как $x+yz,$ содержащих линейную часть.

-- 12.08.2014, 14:45 --

А вообще, интересно было бы привести пример однородного идеала с неоднородными образующими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 14:08 


15/01/09
549
Можно же сложить-вычесть парочку однородных образующих разной степени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group