Схемное пересечение

[OlgaD]

Может быть, такой вопрос будет более понятным. Пусть $C\subset\mathbb{P}^n$ - проективная кривая и $I(C)=\{f\in k[x_0,\ldots,x_n]|f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0\;\mbox{для всех}\;(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)\}$ - ее однородный идеал. Его можно представить в виде

$$I(C)=\bigoplus\limits_{m\geqslant 1}I_m(C),$$

где $I_m(C)$ - линейное пространство однородных многочленов степени $m$ от $x_0,\ldots,x_n,$ равных нулю на $C.$ Утверждается, что если кривая $C$ невырождена, то $I_1(C)=0$ и схемное пересечение кривой содержит гиперповерхности $\{f_i=0\}$ степени $\geqslant 2.$ Мне не совсем понятно, почему нужно выбрасывать однородные многочлены первой степени.

[Nimza]

Вы уверены, что утверждается, что из невырожденности следует $I_1(C) = 0$? Если взять $n=2$ и $C = \mathbb P^1$, то будет $I_1(C) \neq 0$. Может быть, Вы спутали это условие с неиррелевантностью идеала $I(C)$?

[OlgaD]

нет, не спутала...практически перепечатала текст как есть. Вот мне и не понятно, зачем выкидывать пространство $I_1(C)$

[Nimza]

Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

[OlgaD]

Nimza в сообщении #895500 писал(а):

Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

Почему "включено"? В условии невырожденности должно быть еще что-то помимо этого?
Не совсем поняла почему присутствие линейной функции должно приводить к вырожденности кривой? Можете объяснить поподробнее?

[Nimza]

Мне показалось, что ещё неособость требовалась, но наверно, я проглядел. Если для однородного идеала $I \subset k[x_0,\ldots,x_n]$ обозначить

$$ V(I) = \{ [\alpha_0 : \ldots :\alpha_n] \colon f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0 \; \forall f \in I \}, $$

то выполнено $V(I(C)) = C$. В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

[OlgaD]

Nimza в сообщении #895505 писал(а):

В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

Нет, не проглядели. Кажется, я начала понимать. Линейная функция, равная тождественно нулю на кривой $C,$ - это линейная зависимость между координатами, следовательно можно одну из координат вообще исключить из всех образующих идеала. Тогда действительно получаем, что кривая $C$ лежит в некотором подпространстве $\mathbb{P}^n.$ Спасибо.

[Nimza]

Только всё намного проще, множество нулей линейной функции задаёт подпространство размерности $(n-1)$ (просто по определению), а $C$ просто лежит в этом множестве нулей, то есть в этом подпространстве.

[OlgaD]

Да, наверное. Я имела в виду другое. У автора не предполагается, что однородный идеал кривой задается обязательно однородными многочленами. Хотя, конечно, такой базис обязательно существует. Имелось в виду, в частности, что нет таких образующих как $x+yz,$ содержащих линейную часть.

-- 12.08.2014, 14:45 --

А вообще, интересно было бы привести пример однородного идеала с неоднородными образующими.

[Nimza]

Можно же сложить-вычесть парочку однородных образующих разной степени.