2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение26.07.2014, 08:15 
Может быть, такой вопрос будет более понятным. Пусть $C\subset\mathbb{P}^n$ - проективная кривая и $I(C)=\{f\in k[x_0,\ldots,x_n]|f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0\;\mbox{для всех}\;(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)\}$ - ее однородный идеал. Его можно представить в виде $$I(C)=\bigoplus\limits_{m\geqslant 1}I_m(C),$$ где $I_m(C)$ - линейное пространство однородных многочленов степени $m$ от $x_0,\ldots,x_n,$ равных нулю на $C.$ Утверждается, что если кривая $C$ невырождена, то $I_1(C)=0$ и схемное пересечение кривой содержит гиперповерхности $\{f_i=0\}$ степени $\geqslant 2.$ Мне не совсем понятно, почему нужно выбрасывать однородные многочлены первой степени.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 02:06 
Вы уверены, что утверждается, что из невырожденности следует $I_1(C) = 0$? Если взять $n=2$ и $C = \mathbb P^1$, то будет $I_1(C) \neq 0$. Может быть, Вы спутали это условие с неиррелевантностью идеала $I(C)$?

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 07:52 
нет, не спутала...практически перепечатала текст как есть. Вот мне и не понятно, зачем выкидывать пространство $I_1(C)$

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:11 
Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:33 
Nimza в сообщении #895500 писал(а):
Нашел Вашу книжку, на странице 126 в условие невырожденности включено требование, чтобы кривая не содержалась ни в каком собственном подпространстве $\mathbb P^n$, если же $I_1(C) \neq 0$, то $I(C)$ содержит линейную функцию, а значит, $C$ лежит в некотором собственном подпространстве.

Почему "включено"? В условии невырожденности должно быть еще что-то помимо этого? :oops:
Не совсем поняла почему присутствие линейной функции должно приводить к вырожденности кривой? Можете объяснить поподробнее?

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 11:43 
Мне показалось, что ещё неособость требовалась, но наверно, я проглядел. Если для однородного идеала $I \subset k[x_0,\ldots,x_n]$ обозначить
$$
  V(I) = \{ [\alpha_0 : \ldots :\alpha_n] \colon f(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)=0 \; \forall f \in I \},
$$
то выполнено $V(I(C)) = C$. В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 12:46 
Nimza в сообщении #895505 писал(а):
В частности, если в $I(C)$ есть линейная функция, то $C$ лежит в множестве её нулей.

Нет, не проглядели. Кажется, я начала понимать. Линейная функция, равная тождественно нулю на кривой $C,$ - это линейная зависимость между координатами, следовательно можно одну из координат вообще исключить из всех образующих идеала. Тогда действительно получаем, что кривая $C$ лежит в некотором подпространстве $\mathbb{P}^n.$ Спасибо.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 12:57 
Только всё намного проще, множество нулей линейной функции задаёт подпространство размерности $(n-1)$ (просто по определению), а $C$ просто лежит в этом множестве нулей, то есть в этом подпространстве.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 13:17 
Да, наверное. Я имела в виду другое. У автора не предполагается, что однородный идеал кривой задается обязательно однородными многочленами. Хотя, конечно, такой базис обязательно существует. Имелось в виду, в частности, что нет таких образующих как $x+yz,$ содержащих линейную часть.

-- 12.08.2014, 14:45 --

А вообще, интересно было бы привести пример однородного идеала с неоднородными образующими.

 
 
 
 Re: Схемное пересечение
Сообщение12.08.2014, 14:08 
Можно же сложить-вычесть парочку однородных образующих разной степени.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group