решить задачу коши

[olga_helga]

\[ xy'' - xy' - y = 0 \]

,y(0)=0,y'(0)=1.
я попыталась понизить порядок с помощью подстановки

\[ y = e^{\int {z(x)dx} } \]

, исп-ся для однородной ф-ции.но у меня z(x) получаеся такое, что из него фиг выразишь y.

[Brukvalub]

Это уравнение однородно относительно искомой функции и всех ее производных, поэтому делаем замену

\[y' = yz \Rightarrow y'' = y(z^2 + z')\]

[olga_helga]

ну понятно дело!получаем диф.уравнение с понижением порядка

\[ x(z^2 + z') - xz - 1 = 0 \]

,

\[ z' + z^2 - z = \frac{1} {x} \]

, решая его методом вариации произвольной постоянной получаем:

\[ z - z^2 = e^x C(x) \]

, из которого потом фиг получишь С(x)!!!!

[Brukvalub]

Факир был пьян и фокус не удался. Уравнение больно ударилось об Рикатти. Думаем дальше

[Someone]

Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.

[olga_helga]

так вот и именно, нормально че-то частное решение не находится.а

\[ z_1 = xe^x \]

не подходит, т.к.

\[ xe^x + e^x + x^2 e^{2x} - xe^x \]

, ну никак не равно 1/x!

[Someone]

olga_helga писал(а):

\[ z_1 = xe^x \]

не подходит, т.к.

\[ xe^x + e^x + x^2 e^{2x} - xe^x \]

, ну никак не равно 1/x!

А разве я написал $z_1$?

[V.V.]

Someone писал(а):

Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.

Зачем что-то далее, если надо задачу Коши решить?

[Someone]

V.V. писал(а):

Someone писал(а):

Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.

Зачем что-то далее, если надо задачу Коши решить?

Да я написал и только потом заметил, что это частное решение и начальным условиям удовлетворяет. Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...

[V.V.]

Someone писал(а):

Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...

Откуда такое частное решение взялось, тоже непонятно.

На самом деле, если студентка приведет ответ и докажет, что других ответов не бывает, почему бы ей не зачесть этот номер?

[Someone]

olga_helga писал(а):

ну понятно дело!получаем диф.уравнение с понижением порядка

\[ x(z^2 + z') - xz - 1 = 0 \]

,

\[ z' + z^2 - z = \frac{1} {x} \]

Ну ладно, раз уж у нас уравнение Риккати получилось, догадываемся, что оно имеет частное решение $z_1=1+\frac 1x$, и сводим его к линейному уравнению подстановкой $z=z_1+\frac 1u=1+\frac 1x+\frac 1u$.

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

V.V. писал(а):

Someone писал(а):

Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...

Откуда такое частное решение взялось, тоже непонятно.

Вот я потому и спрашиваю: как объяснить? Я-то его с помощью операционного исчисления нашёл.

Добавлено спустя 20 минут 39 секунд:

Можно, конечно, придумать какой-нибудь фокус. Например, если в исходное уравнение подставить $y=ue^x$, то получится уравнение, для которого $u=x$ является очевидным решением.

[Lyoha]

Делаем замену y=xZ, получаем уравнение
x^2(Z''-Z')+2x(Z'-Z)=0
которое уже хорошо разрешается относительно $(Z'-Z)$
Откручиваем обратно и получаем уравнение $xy'-(x+1)y=C$
Из граничных условий получаем, что C=0 и находим ответ y=xe^x

Вроде, сходится.

[Brukvalub]

Красиво!

[Someone]

Да, это хороший вариант.