Деление плоскости зигзагами

[xolodec]

Не могу понять, как правильно подойти к решению задачи, помогите пожалуйста.

вопрос
На какое максимально возможное количество областей делится плоскость при помощи n зигзагообразных линий, каждая из которых состоит из двух параллельных полубесконечных прямых, соединенных прямолинейным отрезком?

Мною установлено, что при $n=2$ максимально возможное количество областей равняется двенадцати (9точек пересечения). А вот как получить выражение для произвольного $n$ ?
Хотел бы приложить рисунок, но не могу найти как приложить изображение к теме с локального устройства.

[Shtorm]

А по индукции не получается вывести общую закономерность?

xolodec в сообщении #895088 писал(а):

Хотел бы приложить рисунок, но не могу найти как приложить изображение к теме с локального устройства.

Вот здесь почитайте topic83887.html

[Aritaborian]

xolodec в сообщении #895088 писал(а):

Хотел бы приложить рисунок, но не могу найти как приложить изображение к теме с локального устройства.

Залейте рисунок на какое-нибудь картинкохранилище, например, postimage.org. Там получите ссылку на файл, каковую вставьте в сообщение, обрамив её тегом [img].

[gris]

Вот такое имеется в виду?
Как же туда третий зигзаг присункть?

[xolodec]

Ровно похожий рисунок я и имел в виду. Именно так два зигзага, пересекаясь, образуют двенадцать областей.

Здесь действительно нужно действовать по индукции, я это чувствую, но, если честно, я не могу нарисовать даже третий зигзаг, чтобы сделать предположение об общем характере данной зависимости.

Даже построение рекурентной зависимости дало бы результат, но как ее написать , в случае с прямыми вместо зигзагов данная рекурентность строится достаточно тривиально, но вот только не с зигзагами ))

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Разве с прямыми тривиально?

[AV_77]

xolodec в сообщении #895380 писал(а):

Здесь действительно нужно действовать по индукции, я это чувствую, но, если честно, я не могу нарисовать даже третий зигзаг, чтобы сделать предположение об общем характере данной зависимости.

Третий зигзаг можно нарисовать так, что каждая его часть будет пересекать точно 6 уже нарисованных прямых (отрезков). Очевидно, что каждый новый зигзаг может пересекать каждый из предыдущих не более, чем в 9 точках.

Вложение:

2.gif [ 7.06 Кб | Просмотров: 448 ]

[xolodec]

Ну с прямыми, если не тривиально, то значительно проще: каждая $n$ прямая добавляет $n$ новых областей тогда, когда пересекает предыдущие $n-1$ прямые.
А это возможно только в том случае, если она не параллельна ни одной прямой, что дает нам способ, как это можно нарисовать.
И количество областей от $n$ прямых может быть вычислена как сумма арифметической прогрессии.

Спасибо большое за третий зигзаг! )) буду думать дальше

-- 12.08.2014, 09:36 --

Кажется тут надо как то так рассуждать.
В случае с прямыми , количество новых областей, добавленных на $n$ шаге равно числу пересечений $n$ прямой с предыдущими плюс одно.
Тут, если рассуждать так же, то количество областей на $n$ шаге. $Z_n = Z_{n-1} + 9 ( n-1 + 1)$
Что, очевидно дает неверный результат, потому что не все прямые в зигзаге - прямые, есть и отрезки.

-- 12.08.2014, 09:42 --

Можно чисто эвристически ))
Если на первом шаге было две области, а на втором 12,
То зависимость может выглядеть как то так:
$Z_n = Z_{n-1} + 9(n-1) + 1$
Никак это не могу объяснить к сожалению.
По цифрам совпадает, кажется

-- 12.08.2014, 09:54 --


Действительно всегда получается число новых областей - это количество пересечений + 1.
Но вот почему этот +1 не плюсуется для каждой пары зигзагов ? А только один на всех ?

[xolodec]

Эх, не могу доказать выше написанную формулу ) никак