стержень на кривой

[Munin]

Oleg Zubelevich
Простите, вы все топологические аргументы мимо ушей пропустили, или как?

[Oleg Zubelevich]

я просто понял, что вы с gris предлагали только когда сам стал решать, надо следить за линиями уровня функции $F(x,\psi)=f(x)+\sin\psi-f(x+\cos\psi).$ Это должно быть тоже, что у вас.

-- Вс авг 10, 2014 11:37:47 --

нет, не тоже самое. мое предложение нарисовать множество кривых уровня $F$ это не сложно, найдя предварительно экстремумы, а потом взять единственную нужную линию уровня $\{F=0\}$ (может она из нескольких кусков будет состоять). А у вас там много линий уровня соответствует движению стержня. вообщем, что-то я вашего с gris решения так и не понял.

[Munin]

Нет, мы следим за линиями уровня другой функции. Сопоставляя с вашими обозначениями,

$$\begin{array}{rcl} \text{O. Z.}&&\text{{\color{blue}gris}, Munin}\\ x&\longleftrightarrow&x_1\\ x+[1]\cos\psi&\longleftrightarrow&x_2\\ {[1]}&\longleftrightarrow&\rho(x_1,x_2)\mathrel{:=}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(f(x_1)-f(x_2))^2}\\ F(x,\psi)&\longleftrightarrow&\varnothing,\quad\text{вторая точка не может сходить с кривой}\\ \end{array}$$

-- 10.08.2014 12:43:29 --

И линии уровня рисуются для $\rho(x_1,x_2),$ или при практических вычислениях удобно взять $\rho^2(x_1,x_2).$

-- 10.08.2014 12:45:05 --

Очевидно, $x_1,x_2$ ничем не хуже натурального параметра двух точек на кривой, но только благодаря тому, что кривая - график однозначной везде на $\mathbb{R}$ заданной функции. В общем случае, надо брать $p_1,p_2.$

-- 10.08.2014 13:08:02 --

$F(x,\psi)=\sin\psi-\bigl(f(x+\cos\psi)-f(x)\bigr).$ Довольно легко представить себе функцию $F(x,\psi)|_{\psi=\mathrm{const}}$ - она просто парабола ветками вниз. Но вот $F(x,\psi)|_{x=\mathrm{const}}$ не так просто устроена - при некоторых $x$ она может, как и исходная кубическая парабола, иметь не один, а три корня. (Я считаю, что $\psi\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}),$ иначе отрезок может разворачиваться назад, и корней будет ещё больше - но это чисто мусорная информация.)

-- 10.08.2014 13:11:34 --

Так, кажется, понял. Да, линия уровня $F=0$ тоже должна продолжаться из $x=-\infty$ в $x=+\infty$ непрерывно, не заходя в петлю, даже если она есть (даже если петля подсоединена к главной линии через седловую точку). Из нескольких кусков она состоять не должна, незачем (ну, разве что в случае попадания седловой точки на $F=0,$ но это не общее положение).

[Munin]

Картинка линий уровня функции $F(x,\psi)$:

[Munin]

Видимо, и то, и другое - разные сечения одной функции многих переменных.

[Munin]

Чтобы уйти от случаев типа спирали Архимеда (хотя с ней надо ещё разобраться), можно потребовать, чтобы кривая асимптотически удалялась от самой себя, то есть, при $p_0\to\pm\infty$ чтобы решение уравнения $\rho(p_0,p)=\rho_0$ давало не более двух корней при любом заранее заданном $\rho_0.$ Условие исчезающей кривизны при этом можно снять (точнее, оно следует из данного).

[Oleg Zubelevich]

в случае функции $y=\frac{ax}{x^2+b^2}$ конфигурационное пространство системы действительно состоит из нескольких кусков (несвязно). При надлежащем выборе $a,b,l$.
В предыдущем примере, думаю, что конфигурационное пространство линейно связно при любом выборе параметров.