Выборочная память о грассмановой природе фермионных полей

[Name XXX]

Почему иногда при работе с лагранжианом, построенным из фермионных полей, люди помнят о грассмановой природе полей, а иногда - благополучно забывают?

Пример: когда записывают свободный лагранжиан для майорановской частицы в терминах 2-ух-компонентного спинора (подробнее об этом почитать можно по ссылке, http://www.mdpi.com/2073-8994/5/4/271),

$$ L = \bar{\psi}(\alpha^{\mu}\partial_{\nu} - m)\psi , \quad \alpha^{\mu} = (\sigma_{2}K, \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}), \quad K\psi = \psi^{*}, \quad \bar{\psi} = -\psi^{\dagger}\alpha_{0}, $$

то массовый член без учета грассмановости полей равен нулю:

$$ \bar{\psi} \psi = -\psi^{\dagger}\sigma_{2}\psi^{*} = -\begin{pmatrix}\psi_{1}^{*} & \psi_{2}^{*}\end{pmatrix}\sigma_{2}\begin{pmatrix} \psi_{1}^{*} \\ \psi_{2}^{*}\end{pmatrix} = 0. $$

В таких случаях используют шаблонную фразу: "Не забывайте, что поля - грассмановы".

Однако когда строят массовую матрицу правых нейтрино для генерации масс левых нейтрино в рамках see-saw-модели,

$$ L^{R}_{M} = M_{ij}(\psi^{T}_{R})^{i}\psi_{R}^{j} + h.c., \quad M_{ij} = M_{ji}, $$

то о грассмановой природе полей забывают. Если бы не забыли, то выражение выше было бы равно нулю.

В данном случае под грассмановостью функций я понимаю их антикоммутацию на ноль.

[Name XXX]

Пардон, поправлю последнее выражение:

$$ L_{M}^{R} = -M_{ij}(\psi_{R}^{T})^{i}\hat{C}\psi_{R}^{j}, \quad M_{ij} = M_{ji}, \quad \hat{C} = i\gamma_{2}\gamma_{0}. $$