Перейти к полярным координатам

[Gdasar]

Задание : Перейти к полярным координатам
$\int_0^\frac 2 3 dx \int_{2 x}^{2-x} f(x;y) dy$


Проблема : Не получается найти углы. Нашел для $x_1 , x_2$ , не получается найти для $y_1, y_2$
$x_1 = \frac 2 3$
$r \cos \varphi = \frac 2 3$
$\varphi = \arccos \frac 2 {3r}$


$x_2 = 0$
$\varphi = \frac \pi 2$

$y_1 = 2x$
$\tg \varphi = 2$
Не получается в нормальной форме выразить угол

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$
Так же не получается выразить угол.
Помогите найти оставшиеся два угла.

[mihailm]

Такие задачи без рисунка не решаются. Нарисуйте область интегрирования

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Сформулируйте задачу.
2. Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihailm]

Какие в принципе $\varphi$ есть в заштрихованной области?

[Gdasar]

$[\frac \pi 6; \frac \pi 2]$
Ну $\frac \pi 2$ точно есть.

[Otta]

$\varphi=\pi/6$ проведите на Вашей картинке. На бумажечке. $\pi/4$ и т.д.

[Munin]

Gdasar в сообщении #893764 писал(а):

Проблема : Не получается найти углы. Нашел для $x_1 , x_2$ , не получается найти для $y_1, y_2$

Похоже, вы не понимаете самого принципа. Ваша цель - не выразить в полярных координатах каждый интеграл по отдельности, а выразить в полярных координатах два интеграла, вместе взятые (то есть, по сути, двойной интеграл, то есть, по сути, интеграл по площади).

[Gdasar]

Munin, у меня должен получиться повторный интеграл по $d\varphi$ и $dr$. Так.
$\int_{\frac \pi 3}^{\frac \pi 2} d\varphi ( \int_0^{\frac 2 {3\cos\varphi}}dr + \int_0^{\frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}} dr)$
$\frac \pi 3$ взял на глаз.

[Munin]

Это уже лучше, хотя всё равно неправильно.

Как решать такую задачу: нужно выразить линии, ограничивающие вашу фигуру, в целевых координатах (здесь - в полярных). (Вспомогательно:) Нарисовать соответствующие графики на плоскости целевых координат, чтобы разобраться с точками пересечения, пределами и внутренностями. И наконец, записать интегралы "от линии до линии".

[Gdasar]

Область ограничивают прямые : $y=2x ; y=2-x ; x=0;$
Выражаем через полярные координаты:
$r\sin\varphi = 2r\cos\varphi$
$r\sin\varphi = 2-r\cos\varphi$
$r\cos\varphi=0$
Надеюсь,что область начерчена правильно.

-- 08.08.2014, 19:28 --

Получается,что $0\leqslant {r }\leqslant {\frac 2 {\sin\varphi+\cos\varphi}}$

-- 08.08.2014, 19:31 --

И нужно ли делить область на 2 части прямой $y=\frac 3 2$ ?

[Munin]

Gdasar в сообщении #894344 писал(а):

Область ограничивают прямые : $y=2x ; y=2-x ; x=0;$
Выражаем через полярные координаты:
$r\sin\varphi = 2r\cos\varphi$
$r\sin\varphi = 2-r\cos\varphi$
$r\cos\varphi=0$
Надеюсь,что область начерчена правильно.
Получается,что $0\leqslant {r }\leqslant {\frac 2 {\sin\varphi+\cos\varphi}}$

Да, правильно. А на $\varphi$ какие ограничения? (Там надо не на глаз, а решением, скажем, уравнений.)

Gdasar в сообщении #894344 писал(а):

И нужно ли делить область на 2 части прямой $y=\frac 3 2$ ?

Нет, не нужно. Эта прямая - "наследие" декартовой системы координат. В ней есть точки пересечения прямых, находящиеся между другими точками. Зато в другой системе координат могут возникнуть другие деления области на части. Например (попробуйте это в качестве упражнения) $\int\limits_0^1 dx \int\limits_0^2 f(x,y)\,dy.$

[Gdasar]

Munin, не получается найти углы.
$x = 0$
$\varphi = \frac \pi 2$

$y = 2x$
$\tg \varphi = 2$
$\varphi = \arctg(2)$

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$ не получается выразить угол.

-- 08.08.2014, 22:17 --

Так же я не знаю, как найти угол между осью $OX$ и прямой $y = 2x$

[Someone]

Gdasar в сообщении #894414 писал(а):

Так же я не знаю, как найти угол между осью $OX$ и прямой $y = 2x$

Gdasar в сообщении #894414 писал(а):

$y = 2x$
$\tg \varphi = 2$
$\varphi = \arctg(2)$

[Gdasar]

Someone,это да,но я думал нужно найти $\varphi$ в радианах(через $\pi$).

-- 08.08.2014, 22:32 --

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$ не получается выразить угол.

-- 08.08.2014, 22:39 --

$\int\limits_0^1 dx \int\limits_0^2 f(x,y)\,dy.$

$x = 0 ;\varphi = \frac \pi 2; r= 0$
$x = 1 ;\varphi = \arccos\frac 1 r; r = \frac 1 {\cos\varphi}$
$y = 0 ;\varphi = \pi; r= 0$
$y = 2 ;\varphi = \arcsin \frac 2 r; r = \frac 2 {\sin\varphi}$
Что дальше делать я не знаю