2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Перейти к полярным координатам
Сообщение06.08.2014, 19:58 


06/08/14
53
Задание : Перейти к полярным координатам
$\int_0^\frac 2 3 dx \int_{2 x}^{2-x} f(x;y) dy$
Изображение

Проблема : Не получается найти углы. Нашел для $x_1 , x_2$ , не получается найти для $y_1, y_2$
$x_1 = \frac 2 3$
$r \cos \varphi = \frac 2 3$
$\varphi = \arccos \frac 2 {3r}$


$x_2 = 0$
$\varphi = \frac \pi 2$

$y_1 = 2x$
$\tg \varphi = 2$
Не получается в нормальной форме выразить угол

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$
Так же не получается выразить угол.
Помогите найти оставшиеся два угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение06.08.2014, 20:02 


19/05/10

3940
Россия
Такие задачи без рисунка не решаются. Нарисуйте область интегрирования

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.08.2014, 20:02 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Сформулируйте задачу.
2. Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.08.2014, 10:41 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 10:58 


19/05/10

3940
Россия
Какие в принципе $\varphi$ есть в заштрихованной области?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 12:21 


06/08/14
53
$[\frac \pi 6; \frac \pi 2]$
Ну $\frac \pi 2$ точно есть. :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 12:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
$\varphi=\pi/6$ проведите на Вашей картинке. На бумажечке. $\pi/4$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gdasar в сообщении #893764 писал(а):
Проблема : Не получается найти углы. Нашел для $x_1 , x_2$ , не получается найти для $y_1, y_2$

Похоже, вы не понимаете самого принципа. Ваша цель - не выразить в полярных координатах каждый интеграл по отдельности, а выразить в полярных координатах два интеграла, вместе взятые (то есть, по сути, двойной интеграл, то есть, по сути, интеграл по площади).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 16:02 


06/08/14
53
Munin, у меня должен получиться повторный интеграл по $d\varphi$ и $dr$. Так.
$\int_{\frac  \pi 3}^{\frac  \pi 2} d\varphi ( \int_0^{\frac 2 {3\cos\varphi}}dr + \int_0^{\frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}} dr)$
$\frac  \pi 3$ взял на глаз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это уже лучше, хотя всё равно неправильно.

Как решать такую задачу: нужно выразить линии, ограничивающие вашу фигуру, в целевых координатах (здесь - в полярных). (Вспомогательно:) Нарисовать соответствующие графики на плоскости целевых координат, чтобы разобраться с точками пересечения, пределами и внутренностями. И наконец, записать интегралы "от линии до линии".

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 18:12 


06/08/14
53
Область ограничивают прямые : $y=2x ; y=2-x ; x=0;$
Выражаем через полярные координаты:
$r\sin\varphi = 2r\cos\varphi$
$r\sin\varphi = 2-r\cos\varphi$
$r\cos\varphi=0$
Надеюсь,что область начерчена правильно.

-- 08.08.2014, 19:28 --

Получается,что $0\leqslant  {r }\leqslant {\frac 2 {\sin\varphi+\cos\varphi}}$

-- 08.08.2014, 19:31 --

И нужно ли делить область на 2 части прямой $y=\frac 3 2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gdasar в сообщении #894344 писал(а):
Область ограничивают прямые : $y=2x ; y=2-x ; x=0;$
Выражаем через полярные координаты:
$r\sin\varphi = 2r\cos\varphi$
$r\sin\varphi = 2-r\cos\varphi$
$r\cos\varphi=0$
Надеюсь,что область начерчена правильно.
Получается,что $0\leqslant  {r }\leqslant {\frac 2 {\sin\varphi+\cos\varphi}}$

Да, правильно. А на $\varphi$ какие ограничения? (Там надо не на глаз, а решением, скажем, уравнений.)

Gdasar в сообщении #894344 писал(а):
И нужно ли делить область на 2 части прямой $y=\frac 3 2$ ?

Нет, не нужно. Эта прямая - "наследие" декартовой системы координат. В ней есть точки пересечения прямых, находящиеся между другими точками. Зато в другой системе координат могут возникнуть другие деления области на части. Например (попробуйте это в качестве упражнения) $\int\limits_0^1 dx \int\limits_0^2 f(x,y)\,dy.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 21:14 


06/08/14
53
Munin, не получается найти углы.
$x = 0$
$\varphi = \frac \pi 2$

$y = 2x$
$\tg \varphi = 2$
$\varphi = \arctg(2)$

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$ не получается выразить угол.

-- 08.08.2014, 22:17 --

Так же я не знаю, как найти угол между осью $OX$ и прямой $y = 2x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Gdasar в сообщении #894414 писал(а):
Так же я не знаю, как найти угол между осью $OX$ и прямой $y = 2x$
Gdasar в сообщении #894414 писал(а):
$y = 2x$
$\tg \varphi = 2$
$\varphi = \arctg(2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перейти к полярным координатам
Сообщение08.08.2014, 21:31 


06/08/14
53
Someone,это да,но я думал нужно найти $\varphi$ в радианах(через $\pi$).

-- 08.08.2014, 22:32 --

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$ не получается выразить угол.

-- 08.08.2014, 22:39 --

$\int\limits_0^1 dx \int\limits_0^2 f(x,y)\,dy.$

$x = 0 ;\varphi = \frac \pi 2; r= 0$
$x = 1 ;\varphi = \arccos\frac 1 r; r = \frac 1 {\cos\varphi}$
$y = 0 ;\varphi = \pi; r= 0$
$y = 2 ;\varphi = \arcsin \frac 2 r; r = \frac 2 {\sin\varphi}$
Что дальше делать я не знаю :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group