n-точечная функция Грина

[Name XXX]

Часто для рассмотрения вводят объект (чисто для простоты работы с индексами я рассматриваю скалярное поле)

$$ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \frac{\langle | \hat{T}\left(\varphi(x_{1})...\varphi (x_{n})e^{-i\int L_{int}d^{4}x} \right) | \rangle}{\langle |\hat{T}e^{-i\int L_{int}d^{4}x} |\rangle} \qquad (1) $$

и говорят, что он соответствует n-точечной функции Грина, по которой можно получить амплитуду для произвольного порядка теории возмущений.

Я не понимаю, с учетом вкладываемого в $(1)$ смысла, откуда в $(1)$ берется экспонента $e^{-i\int L_{int}d^{4}x}$. Казалось бы, когда мы берем амплитуду произвольного процесса (нормировку в знаменателе я просто опускаю),

$$ S_{\alpha \to \beta} = \langle \beta |\hat{T}e^{-i\int L_{int}d^{4}x}|\alpha \rangle , $$

то в n-том порядке теории возмущений можно получить, что

$$ S_{n} = \frac{i^n}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n} \langle \beta | T\left( L_{int}(x_{1})...L_{int} (x_{n})\right)| \alpha\rangle , $$

откуда получится, скорее, функция

$$ G_{N}(x_{1},...,x_{n}) = \langle | T(\varphi (x_{1})...\varphi (x_{N}))|\rangle , $$

но уж никак не $(1)$.

Может ли кто-то объяснить в деталях (или прислать ссылку на детальное выведение), откуда в функции Грина появляется экспонента? Связано ли это с тем, что оператор лагранжиана взаимодействия $L_{int}(x)$ записывается в представлении взаимодействия?

Заранее признателен.

[Alex-Yu]

Name XXX в сообщении #893342 писал(а):

асто для рассмотрения вводят объект (чисто для простоты работы с индексами я рассматриваю скалярное поле)

$$ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \frac{\langle | \hat{T}\left(\varphi(x_{1})...\varphi (x_{n})e^{-i\int L_{int}d^{4}x} \right) | \rangle}{\langle |\hat{T}e^{-i\int L_{int}d^{4}x} |\rangle} \qquad (1) $$

и говорят, что он соответствует n-точечной функции Грина,

Функция Грина это

$$ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = {\langle | \hat{T}\left(\varphi(x_{1})...\varphi (x_{n}) \right) | \rangle} \qquad (1) $$

где операторы гайзенберговские. Если гайзенберговские операторы выразить через операторы в представлении взаимодействия, то возникнет эта дополнительная экспонента и знаменатель. Вывод основан на том, что под Т-произведением сомножители можно расставлять в любом порядке, Т-оператор их все равно расставит как надо. В результате унитарные операторы, переводящие гайзенберговское представление в дираковское (представление взаимодействия) можно "собрать в одну кучу", что и даст одну такую экспоненту и знаменатель. Где почитать? В ЛЛ4 точно есть. С той лишь разницей, что там вместо этой экспоненты $S$. Но

$$ S=Te^{-i\int H_{int}dt} $$

так что оказывается то же самое.

[Name XXX]

Alex-Yu, спасибо, теперь ясно. Еще такой вопрос: зачем переписывать операторы в представлении взаимодействия?

[Alex-Yu]

Name XXX в сообщении #893361 писал(а):

Еще такой вопрос: зачем переписывать операторы в представлении взаимодействия?

Затем, что чему равны гайзенберговские операторы в теории с взаимодействием --- большой вопрос. Можно только посчитать по теории возмущений. Без этого ничего конкретного не скажешь, можно только написать абстрактные формулы. А теория возмущений и подразумевает использование операторов в представлении взаимодействия. Чему равны операторы в представлении взаимодействия --- тривиально. Гайзенберговским опрераторам в теории БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. Здесь все что угодно можно "довести до цифири".

Собственно когда Вы разложите получающуюся экспоненту в ряд, это и будет теория возмущений. После разложения экспоненты в ряд все выразится через функции Грина теории без взаимодействия, они считаются запросто: если нет взаимодействия, то есть замечательная теорема Вика, позволяющая любую функцию Грина выразить через комбинацию произведений лишь двухточечных функций Грина (пропагаторов). Просто будут получаться более высокие функции Грина и будут дополнительно интегрирования ($H_{int}$ это же тоже некое произведение полей, ну и пространственный интеграл в придачу). Всему этому делу можно поставить в соответствие картинки, называемые диаграммами Фейнмана. Так удобнее. Но в принципе, можно и без картинок. Просто с картинками нагляднее. Особенно "хитрые" перегруппировки ряда.

[Name XXX]

Alex-Yu, вот этого уже не понимаю. Ведь S-матрица определяется через S-оператор так, что

$$ S_{\beta \alpha} = \langle \beta | \hat{S}| \alpha \rangle , $$

где $\beta , \alpha $ - предел свободных (!) операторов n-частичных состояний при $t \to \pm \infty $ соответственно, взятых в представлении Гейзенберга. А S-оператор уже записан в представлении взаимодействия. Потому непонятно, зачем вообще тогда рассматривают n-точечные функции Грина по функциям в представлении Гейзенберга. Они же, если я правильно понимаю, и не возникают вовсе в теории возмущений.

[Alex-Yu]

Name XXX в сообщении #893597 писал(а):

Ведь S-матрица определяется через S-оператор так, что

$$ S_{\beta \alpha} = \langle \beta | \hat{S}| \alpha \rangle , $$

где $\beta , \alpha $ - предел свободных (!) операторов n-частичных состояний при $t \to \pm \infty $ соответственно, взятых в представлении Гейзенберга.

Видимо, все же не операторов, а состояний. Ну да ладно, описка. Дело не в этом. Дело в том, что на $S$-матрице "свет клином не сошелся", вычисление $S$-матрицы лишь частный (хотя и важный) вопрос. Во-вторых функции Грина определяются через гайзенберговские операторы, реальные вычисления ведутся с операторами в представлении взаимодействия. Но прежде чем вычислять, нужно определить что именно вычисляем.

-- Ср авг 06, 2014 14:43:57 --

Name XXX в сообщении #893597 писал(а):

Потому непонятно, зачем вообще тогда рассматривают n-точечные функции Грина по функциям в представлении Гейзенберга.

"Функции Грина по функциям функциям в представлении Гейзенберга" это нечто невнятное. Видимо подразумевалось "функции Грина как среднее от Т-упорядоченного произведения операторов в представлении Гайзенберга". Нет, можно, конечно, вести такие функции

$$ \langle T\phi(x_1) \dots \phi(x_n)\rangle $$

где операторы в представлении взаимодействия. Часто такие функции обозначают также как "точные функции Грина" (т.е. опеределнные через гайзенберговские операторы), но с дополнительным значком "ноль" (т.е. с нулевым гамильтонианом, без взаимодействия). Они, собственно, и получаются после разложения в ряд экспоненты. Но только сами по себе эти функции не имеют НИКАКОГО отношения к взаимодействию. Они одинаковы что есть взаимодействие, что нет взаимодействия. Потому они и вычисляются запросто.

В общем не понятно что именно Вы хотели узнать. Вы хотите считать $S$-матрицу без взаимодействия? Это тривиально, такая $S$-матрица (точнее соответствующий оператор) есть единица. А вот чтобы возникло что-то нетривиальное, нужно чтобы ХОТЬ ГДЕ-НИБУДЬ было взаимодействие. Например динамика операторов должна определяться ПОЛНЫМ а не свободным гамильтонианом. Ну дык это гайзенберговские операторы! Динамика операторов в представлении взаимодействия определяется свободным гамильтонианом, без взаимодействия. Т.е. тогда взаимодействия вообще нигде нет

Возможно здесь нужна мотивировка а зачем вообще рассматривать какие-то там функции Грина. Обычно этот вопрос довольно неясен в стандартных учебниках. Наиболее прямой подход восходит к Швингеру. Швингер предложил задаться вопросом "а какая будет амплитуда перехода вакуум-вакуум при условии, что на поле действует внешний классический источник $J$"? Взаимодействие с таким источником описывается добавкой к лагранжиану вида $J(x)\phi(x)$. Если далее разложить такую амплитуду в функциональный ряд по степеням $J$, то как раз и возникнут есественным образом функции Грина (причем именно определенные через гайзенберговские операторы). Кстати, сама амплитуда такого перехода $Z[J]$ (она естественно функционал от $J$, что и показывает аргумент в квадратных скобках) называется производящим функционалом функций Грина. Собственно

$$ G_n(x_1 \dots x_n)=\frac{1}{n!}\cdot \left.\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\right|_{J=0} $$

И наоборот

$$ Z[J]=1 + \int G_1(x_1)J(x_1)dx_1 + \int G_2(x_1,x_2)J(x_1)J(x_2)dx_1dx_2 + \dots $$

Довольно нетрудно узреть в этих двух формулах естественное (функциональное) обобщение обычного ряда Маклорена (или Тейлора относительно нуля). Как правило, функции Грина с нечетным номером равны нулю, так что "половина" членов ряда исчезает.

Ну а $S$-матрицу потом можно выразить через эти функции Грина. Физически это довольно ясно т.к. асимтотические, пока еще (или уже) свободные частицы можно устроить из вакуума за счет действия на вакуум классическим источником $J$. Т.е. сначала был вакуум. Потом мы подействовали на него источником и возникли исходные, далеко друг от друга расположенные частицы. Потом источник выключили и предоставили частицам двигаться, рассеиваться и т.д. Получились рассеянные частицы. Их уничтожили вторым включением источника, опять все превратили в вакуум. В итоге получается амплитуда перехода вакуум-вакуум. Но при наличии источника. Конечно математическая реализация представления $S$-матрицы через функции Грина (вывод так называемой "формулы приведения") ---- это некоторый труд. Но физическая идея ИМХО "ясна как день"

[ChaosProcess]

А где разбирается этот подход Швингера, не подскажете?

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #893646 писал(а):

А где разбирается этот подход Швингера, не подскажете?

Очень кратко --- известный курс лекций Рамона. Детально --- сам Швингер "Частицы источники поля" (что-то так, точно название не помню, два тома). Ну там "нудно" и обстоятельно У Райдера кажется было... или не было... не помню. "Обрывками" много где попадается. В частности довольно детально у Фаддеева-Славнова "Квантование калибровочных полей", вводная глава.

Собственно более-менее нетривиально --- это только формула приведения. А все остальное в уме можно сделать, я все уже сказал Впрочем, с этим связаны еще производящий функционал связанных функций Грина, производящий функционал одночастично неприводимых функций Грина, эффективное действие и т.п. Все это довольно просто и ясно у Рамона. А вот формулу приведения я не помню чтобы он обсуждал. Васильева еще книжка была "Функциональные методы..." или что-то вроде того. Книга Зин-Жустина -- Zinn-Justin:

http://www.amazon.com/Quantum-Critical- ... 287&sr=1-2

(ну это найти трудно, сам мечтаю целиком почитать).

[ChaosProcess]

Спасибо. А не знаете, где почитать статьи, за которые ему нобелевку и присудили?
А Зинн-Джастина я где-то видел, если попадется на глаза, могу послать почтой.

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #893661 писал(а):

Спасибо. А не знаете, где почитать статьи, за которые ему нобелевку и присудили?

Да вроде был сборник "Новейшее развитие квантовой электродинамики". Там все такие статьи есть, еще и в переводе. Ссылка есть, если не путаю, в "Введении..." Боголюбова-Ширкова.

Посмотрел: действительно есть. Вместе со ссылками на физрев. И там еще две статьи в другом сборнике, где статьи из менее известного журнала.

А нобелевку ему дали за вычисление аномального магнитного момента электрона. Есть почти в любом учебнике.

-- Ср авг 06, 2014 19:43:51 --

ChaosProcess в сообщении #893661 писал(а):

А Зинн-Джастина я где-то видел, если попадется на глаза, могу послать почтой.

Отрывки и я видел. А чтобы целиком.... Пожалуй он всеже Зин-Жустин, или даже Зин-Жустен. Француз всеже.... На английский манер получается, конечно, Джастин.

[Name XXX]

Alex-Yu, мне казалось, что вся КТП как модель описания взаимодействий строится на двух столпах: непертурбативных результатах (типа теоремы ЛСЦ, перенормировки заряда, тождеств Уорда) и пертурбативном разложении S-матрицы, которая, после перенормировки полей, масс и зарядов, может характеризовать любой процесс в произвольном порядке теории возмущений. S-матрица представима в указанном мною виде.

Отсюда - мой вопрос, который возник после нашего обсуждения: чем же эти функции Грина, где поля записаны в представлении Гейзенберга, так важны? Где они вообще появляются?

[Alex-Yu]

Name XXX в сообщении #893684 писал(а):

чем же эти функции Грина, где поля записаны в представлении Гейзенберга, так важны? Где они вообще появляются?

Ну дык я же написал. Впрочем, я не сразу написал, дописывал. Перечитайте. Я вообще почти всегда не могу пост написать сразу целиком.

-- Ср авг 06, 2014 20:14:24 --

Name XXX в сообщении #893684 писал(а):

пертурбативном разложении S-матрицы,

Диаграмная техника (это пертурбативное разложение и есть) для функций Грина проще, естественней. Для $S$-матрицы там внешние концы специальными образом трактуются. Но "внутренности" --- это функции Грина и есть. Причем все сводится к связанным или даже сильносвязанным функциям Грина, ряд можно частично свернуть.

Есть еще важный момент. Логически непоследовательно строится диаграмная техника если сразу для $S$-матрицы и без функций Грина. Дело в том, что тогда приходится использовать адиабатическое включение/выключение взаимодействия, делать асимтотические состояния как свободные. Строго говоря, это чушь собачья, ибо на самом деле частицы "одеваются" за счет взаимодействия и в асимтотических состояниях. Хотя ответ получаетя правильный. Подход Швингера свободен от этого логического дефекта.

-- Ср авг 06, 2014 20:18:45 --

Name XXX в сообщении #893684 писал(а):

тождеств Уорда

Кстати, тождества Уорда (а лучше Уорда-Тахакаши) это и есть тождества для точных функций Грина. Еще и одночастично-неприводимых. Тождеств Уорда для $S$-матрицы не бывает.

-- Ср авг 06, 2014 20:22:51 --

Name XXX в сообщении #893684 писал(а):

S-матрицы, которая, после перенормировки полей, масс и зарядов, может характеризовать любой процесс в произвольном порядке теории возмущений.

Если известны функции Грина, то $S$-матрица находится "легким движением руки".

[Munin]

А почему перенормировка заряда оказалась в непертурбативных результатах?

[Alex-Yu]

Добавлю.

Name XXX в сообщении #893684 писал(а):

S-матрица представима в указанном мною виде.

Вы это:

-- Чт авг 07, 2014 03:40:20 --

Name XXX в сообщении #893342 писал(а):

$$ S_{\alpha \to \beta} = \langle \beta |\hat{T}e^{-i\int L_{int}d^{4}x}|\alpha \rangle , $$

имеете в виду?

Неудобство этой формулы в том, что здесь матричный элемент по некоторым отнюдь не вакуумным состояниям. Намного удобнее работать с вакуумным средним т.е. с матричными элементами одного единственного вида $\langle vac | \dots | vac \rangle$. Обратите внимание, в функциях Грина именно вакуумное среднее. Это соображение может мотивировать трюк со швингеровским источником. Можно, можно обойтись без функций Грина. Но с ними удобнее.

Впрочем, некоторая ирония заключается в том, что функции Грина все равно появятся (хотя и в скрытой форме). Как "куски" диаграмм (точнее суммы диаграмм) для $S$-матрицы. Просто не будет явно видно, что это вакуумное среднее от Т-упорядоченного произведения полей в гайзенберговском представлении.

P.S. А еще тут есть связь с тем фактом, что для осциллятора глауберговское состояние является производящей функцией фоковских состояний (возбужденных стационарных состояний осциллятора). Внешней классической силой осциллятор в состоянии вакуума (основное состояние) как раз и переводится в глауберговское состояние.

[ChaosProcess]

2Alex-Yu

(Оффтоп)

http://bookfi.org/book/1412262 ссылка на "Quantum field theory and critical phenomena"