IMC 2014

[arqady]

Первый День
Второй день
Результаты
Израиль выиграл с огромным отрывом!

[denisart]

Задача №3 второго дня предлагалась на всероссийской олимпиаде в Уфе 2010 г.

[EtCetera]

II-3.

$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}=\int\limits_{0}^{1}\cos tx\, dt\Rightarrow f^{(n)}(x)=\int\limits_{0}^{1}t^n\cos \left(tx+\dfrac{\pi n}{2}\right)\, dt \Rightarrow \left|f^{(n)}(x)\right|<\int\limits_{0}^{1}t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}$$

Неужели так просто?

[patzer2097]

(EtCetera)

EtCetera в сообщении #893378 писал(а):

II-3.

$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}=\int\limits_{0}^{1}\cos tx\, dt$$

Красивое решение!

EtCetera в сообщении #893378 писал(а):

Неужели так просто?

Ну не так уж и просто, особенно если посмотреть на задачи первого дня
I-1 Если $b>a^2/4$, то $M$ не существует; $b<a^2/4$ не подходит из-за $M=\left(\begin{smallmatrix}a/2&\pm\sqrt{a^2/4-b}\\\pm\sqrt{a^2/4-b}&a/2\end{smallmatrix}\right)$; остается ответ - $b=a^2/4$ и матрица $M=a/2E$.
I-2 $\lim\frac{\sum_n a_n}{n^\alpha}=\lim\frac{\sum_{t=1}^u (t^2+t)/2}{\left((u^2+u)/2\right)^\alpha}=2^{\alpha-1}\lim\frac{\sum_{t=1}^u (t/u)^2}{u^{2\alpha-2}}=\lim\frac{2^{\alpha-1}u}{3u^{2\alpha-2}}=\sqrt{2}/3$ при $\alpha=3/2$.
I-3 Если многочлен $f(x)$ степени $t$ имеет $t$ простых корней $x_i$, то $g=f(x)+\varepsilon x^{t+1}$ имеет $t$ простых корней $x_i+o(1)$ при малых $\varepsilon$; поэтому $g$ имеет $t+1$ простых корней, что доказывает индуктивный переход.
итд.
Но задача II-2 выделяется даже на этом фоне

[bot]

(Оффтоп)

denisart в сообщении #893368 писал(а):

Задача №3 второго дня предлагалась на всероссийской олимпиаде в Уфе 2010 г.

А в 2007 г. была на форуме ММФ НГУ

[arqady]

denisart в сообщении #893368 писал(а):

Задача №3 второго дня предлагалась на всероссийской олимпиаде в Уфе 2010 г.

Действительно, она была в Уфе только в 2008-ом году (3 тур, задача 3).
Мы про это не знали.

[dm]

Закрытие
https://www.youtube.com/watch?v=vIZJCyEPRzY
https://www.youtube.com/watch?v=WSPJ-wFRMm8
https://www.youtube.com/watch?v=2HOImBGeoqo
https://www.youtube.com/watch?v=eP1IJFa8ND0

[denisart]

arqady в сообщении #893664 писал(а):

Действительно, она была в Уфе только в 2008-ом году (3 тур, задача 3).
Мы про это не знали.

Да, 2008. Это я перепутал.