Комплексификация для самых маленьких

[Foxer]

Читал я сегодня утром "Геометрические методы в квантовой механике" и снова наткнулся на так называемую комплексификацию. Объясните мне, глупому, пожалуйста, что это за магия то такая? А то работали значит в $\mathbb{R}^{2n}$, все счастливы, все радуются, а потом бац и комплексные числа откуда-то взялись.
Лично с курса дифференциальных уравнений с нашим семинаристом она (комплексификация) как-то мимо меня прошла (ну там, к сожалению, все диффуры как-то мимо меня прошли :( ). Изложу то, что, кажется, я понимаю про этот феномен.

1. Обычно комплексифицируют в четномерных пространствах. Комплексификация, на сколько я понимаю, это просто замена $\mathbb{R}^{2n} = \mathbb{R}^2 \times \dots \times \mathbb{R}^2$ на $\mathbb{C}^n = \mathbb{C} \times \dots \times \mathbb{C}$.
2. Если мы рассматривали векторы и их линейные комбинации в $\mathbb{R}^{2n}$ над $\mathbb{R}$, то в $\mathbb{C}^n$, как правило, мы берем базис из $2n$ векторов и также рассматриваем все над $\mathbb{R}$, иначе бы базис был бы всего лишь из $n$ векторов.
3. В материале, который я читаю написано следующее:
"Впрочем, синусы и косинусы  это не самый удобный базис для нас. Гораздо лучше использовать комплекс-
ные экспоненты. Решение $e^{ikx}$ стационарного уравнения Шрёдингера соответствует частице, которая летит
справа, а решение $e^{-ikx}$  частице, которая летит слева."
Откуда из синуса и косинуса появляются экспоненты? Хотя на этот вопрос я и сам, скорее всего, отвечу. Базисом решения были две функции $\{\cos(kx), \sin(kx)\}, k = const$. Если перед синусом поставить $i$, то и правда получится экспонента.

а. Спрашивается, почему если мы будем тут что-то дифференцировать (ну а коли тут дифгем, или этот трюк использовался в диффурах, то дифференцирования нам не избежать), то мы по-прежнему будем описывать то самое $\mathbb{R}^{2n}$, а не что-то иное? Казалось бы, $\mathbb{C}$-дифференцирование и $\mathbb{R}^2$-дифференцирование - штуки разные.
б. Во-вторых, мы некоторым $(i^2 = -1)$ образом связываем наши координаты, если мы что-то перемножим, то может получиться печальный результат, разве не так? Или же в комплексификации подразумевается, что мы не будем такого делать?

Ну и последнее, хотелось бы увидеть какой-нибудь примерчик комплексификации и как ее использовать, какие преимущества она дает и почему это законно (а. и б.)?

[Someone]

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

Обычно комплексифицируют в четномерных пространствах.

Не обязательно. Нечётномерные пространства комплексифицируются нисколько не хуже.

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

Комплексификация, на сколько я понимаю, это просто замена $\mathbb{R}^{2n} = \mathbb{R}^2 \times \dots \times \mathbb{R}^2$ на $\mathbb{C}^n = \mathbb{C} \times \dots \times \mathbb{C}$.

Нет. Заменяется $\mathbb R^n$ на $\mathbb C^n$. Топологическая размерность при этом удваивается. Алгебраическая размерность остаётся та же, но над другим полем (было $\mathbb R$, стало $\mathbb C$).

Для начала посмотрите http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $E$ линейное пространство над $\mathbb{C}$. Если использовать не все элементы $\mathbb{C}$, а только вещественые числа, т.е. элементы $E$ умножать только на вещественные числа, то получится линейное пространство над $\mathbb{R}$. Оно называется овеществлением $E$.

Пусть теперь $E$ линейное пространство над $\mathbb{R}$. Введем пространство $F=E\oplus iE$ над полем $\mathbb{C}$. Это пространство называется комплексификацией $E$. Оно состоит из элементов $x+iy,\quad x,y\in E$ т.е. из пар элементов пространства $E$. Как определять операцию умножения такого вектора на комплексное число -- сообразите.

[takeover]

Если у нас есть $V=\mathbb{R}^{2n}$ и задан оператор(а его всегда можно задать) $J \in GL(V): J^2=-Id$, то мы можем ввести комплексную структуру на нашем проcтранстве: $(x+iy)v = xv+yJ(v)$. И отождествить это с $n$-мерным комплексным пространством. Но это все же называют "комплексной структурой", комплексификацией называют:
$V_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}} V$. Умножение на комплексные числа вводится очевидным образом. Причем размерность уже может быть любой.

[Foxer]

Someone в сообщении #892935 писал(а):

Для начала посмотрите http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%B8%D0%B5
.

Посмотрел.

Oleg Zubelevich в сообщении #892936 писал(а):

Пусть теперь $E$ линейное пространство над $\mathbb{R}$. Введем пространство $F=E\oplus iE$ над полем $\mathbb{C}$. Это пространство называется комплексификацией $E$. Оно состоит из элементов $x+iy,\quad x,y\in E$ т.е. из пар элементов пространства $E$. Как определять операцию умножения такого вектора на комплексное число -- сообразите.

Сообразил.

takeover в сообщении #892937 писал(а):

Если у нас есть $V=\mathbb{R}^{2n}$ и задан оператор(а его всегда можно задать) $J \in GL(V): J^2=-Id$, то мы можем ввести комплексную структуру на нашем проcтранстве: $(x+iy)v = xv+yJ(v)$. И отождествить это с $n$-мерным комплексным пространством. Но это все же называют "комплексной структурой", комплексификацией называют:

Вопрос тогда: в моем случае употребляют слово комплексификация, а это точно не комплексная структура?

takeover в сообщении #892937 писал(а):

$V_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}} V$. Умножение на комплексные числа вводится очевидным образом. Причем размерность уже может быть любой.

Все равно мне не ясна интуиция, которая за этим стоит. Было обычное наше пространство, жили хорошо, препиваючи. БАЦ и решили тензорно умножить на $\mathbb{C}$, чтобы записывать в виде экспонент, вау как круто. Зачем? Почему это не приведет к каким-нибудь плохим последствиям. Пока что для меня это выглядит так: есть у нас целые числа, хотим мы исследовать их делимость. А ну их, будем исследовать рациональные. О, а их можно на все что угодно (кроме нуля) делить.

[Oleg Zubelevich]

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

В материале, который я читаю написано следующее:
"Впрочем, синусы и косинусы  это не самый удобный базис для нас. Гораздо лучше использовать комплекс-
ные экспоненты. Решение $e^{ikx}$ стационарного уравнения Шрёдингера соответствует частице, которая летит
справа, а решение $e^{-ikx}$  частице, которая летит слева."
Откуда из синуса и косинуса появляются экспоненты? Хотя на этот вопрос я и сам, скорее всего, отвечу. Базисом решения были две функции $\{\cos(kx), \sin(kx)\}, k = const$. Если перед синусом поставить $i$, то и правда получится экспонента.

Тут по-моему некоторая путаница имеет место. Экспоненты это базис в каком пространстве? Если это базис в $L^2(\mathbb{T})$ то для начала это не алгебраический базис. А правило следующее: если $\{e_k\}$ базис в комплексном линейном пространстве $E$, то $\{e_k\}\cup\{ie_k\}$ -- базис в овеществлении. Далее см. формулу Эйлера.

-- Вс авг 03, 2014 11:34:08 --

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

Ну и последнее, хотелось бы увидеть какой-нибудь примерчик комплексификации и как ее использовать, какие преимущества она д

C комплексификацией Вы имеете дело всякий раз, когда приводите матрицу изначально действительного оператора к Жордановой форме. Преимущество: всякий многочлен степени $n$ над $\mathbb{C}$ имеет $n$ корней, а над $\mathbb{R}$ не всякий.

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #892942 писал(а):

ут по-моему некоторая путаница имеет место. Экспоненты это базис в каком пространстве? Если это базис в $L^2(\mathbb{T})$ то для начала это не алгебраический базис.

Наверное я как-то двусмысленно написал. Там имелось ввиду, что у нас двумерное пространство, состоящее из одного синуса и одного косинуса, т.е. любая функция из этого пространства представляется как линейная комбинация $C_1\sin(kx) + C_2\cos(kx)$, а $k$ фиксировано.

Oleg Zubelevich в сообщении #892942 писал(а):

C комплексификацией Вы имеете дело всякий раз, когда приводите матрицу изначально действительного оператора к Жордановой форме. Преимущество: всякий многочлен степени $n$ над $\mathbb{C}$ имеет $n$ корней, а над $\mathbb{R}$ не всякий.

Точно-точно! Всем спасибо, все свободны :).
За дальнейшими подробностями почитаю википедию).

[Munin]

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

Читал я сегодня утром "Геометрические методы в квантовой механике"

Можно ссылку?

Foxer в сообщении #892923 писал(а):

1. Обычно комплексифицируют в четномерных пространствах. Комплексификация, на сколько я понимаю, это просто замена $\mathbb{R}^{2n} = \mathbb{R}^2 \times \dots \times \mathbb{R}^2$ на $\mathbb{C}^n = \mathbb{C} \times \dots \times \mathbb{C}$.

Это называется, насколько я понимаю, не комплексификацией, а введением комплексной структуры. http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_manifold

[Foxer]

Munin в сообщении #893005 писал(а):

Можно ссылку?

Мехматянский курс лекций, записанный студентами. Наслаждайтесь на здоровье!
Ссылка из этого раздела.

[Munin]

Спасибо!

В учебниках физики про экспоненты обычно говорят так: "будем вместо $\sin/\cos$ использовать $e^{ikx},$ а в самом-самом конце вычислений будем брать от результата действительную часть. Впрочем, это даже будем подразумевать, а не писать явно." По сути, это означает комплексификацию (в указанном в этой теме смысле) пространства значений функций, и соответствующих дифференциальных уравнений. Пространство независимых переменных остаётся действительным, чтоб не мучаться.

(Его иногда тоже комплексифицируют, но реже - в теориях аналитических законов физики, из которых наиболее знаменита аналитическая $S$-матрица. Чаще его не комплексифицируют полностью, а совершают полузаконную замену переменных $t\to it'$ (виковский поворот, Wick rotation), где новая переменная $t'$ может иметь разный физический смысл - от времени в классической системе, до обратной температуры, до просто условной переменной для лёгкости нахождения решения дифура.)

[Foxer]

Munin в сообщении #893033 писал(а):

полузаконную замену переменных $t\to it'$ (виковский поворот, Wick rotation)

Забавно, мне всегда казалась такая штука незаконной. Нужно будет почитать.

[Munin]

Ну, она законна в контексте именно комплексификации: если заменить все 4 действительные пространственные переменные на комплексные, то там это будет просто поворот. А если наша функция обладает некоторой аналитичностью в старых действительных переменных (не знаю, какой точно), то она может быть распространена и на комплексное пространство, и поворот просто повернёт эту функцию другим боком. Оставив формулу (если она написана в явном виде), ровно с этой заменой переменных в формуле. То есть, когда у нас есть решение в явном виде, это работает. Потом делается овеществление на новые действительные переменные.

[Munin]

Что удивило в книге - это систематическое использование $h$ вместо $\hbar.$ В физике $h=2\pi\hbar,$ и путать их нельзя.

[Foxer]

Munin в сообщении #893081 писал(а):

Что удивило в книге - это систематическое использование $h$ вместо $\hbar.$ В физике $h=2\pi\hbar,$ и путать их нельзя.

Для меня, как математика, который три курса не слышал слово "физика" и почти полностью ее забыл, это значения особого не имеет. Домножили мы одну константу на другую, получили константу). Мехмат-мехмат...
Кстати там не мало опечаточек).

[Munin]

Foxer в сообщении #893255 писал(а):

Для меня, как математика, который три курса не слышал слово "физика" и почти полностью ее забыл, это значения особого не имеет.

Ну, представьте себе, что вы видите математический текст, в котором везде вместо $\pi$ написано $\Pi.$ И каковы ваши ощущения? :-) (Ах да, и вместо $e$ - $\varepsilon.$)