Непрерывность корней многочлена от коэффициетов

[the_jack]

Подскажите, корни многочлена (степени выше двух) с действительными коэффициентами меняются непрерывно при непрерывном изменении коэффициентов? Если можно, киньте ссылку на соответствующую литературу.

[gris]

Корни не являются функцией, поэтому говорить о их непрерывности не совсем корректно. Вполне можно представить график многочлена, двигаемый вверх-вниз, когда корни внезапно исчезают в одном месте и появляются в другом. Но если рассматривать всё это дело в комплексном пространстве или даже в вещественном, осторожно определив понятие корня с его кратностью и аккуратно определяя обратные функции на различных участках, или рассматривать пересечения бесконечно гладкой кривой, представляющей многочлен, и прямой, то можно говорить не только о непрерывности, но и о гладкости.
Я бы сказал, что корни гладко зависят от коэффийиентов почти всегда.

[demolishka]

gris
Автор скорей всего имел ввиду функцию, которая набору коэффициентов $(a_1,...,a_n)$ сопоставляет набор корней соответствующего многочлена. При этом предполагается, что все корни - вещественные, попарно различные. Утверждается, что эта функция будет гладкой в окрестности $(a_1,...,a_n)$.

Это действительно так - с помощью теоремы Виета легко построить обратное отображение(обратное для исходной функции) и посмотреть его определитель Якоби(он вроде как будет определителем Вандермонда). Поэтому отображение обратимо и сохраняет гладкость.

[the_jack]

demolishka
О предположениях что корни вещественные и попарно различные я не писал.

Можно поподробнее: как по якобиану понять, что имеется непрерывность?

[demolishka]

the_jack
Гладкое отображение $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ обратимо в окрестности точки, в которой определитель Якоби не нулевой. При этом гладкость сохраняется.

[gris]

Для одиночного корня можно выделить интервал монотонности многочлена и применить теорему об обратной функции.
А вот что делать с многочленом $x(x^2-1)^2+a$ в окрестности $a=0$?

[the_jack]

demolishka
Спасибо, это интересно

[the_jack]

demolishka
Если несложно, объясните, почему определитель Якоби будет определителем Вандермонда? Даже для случая третьей степени с матрицей

$ -1^{(p)} \begin{pmatrix} x_2 \cdot x_3 & x_1 \cdot x_3 & x_1 \cdot x_2 \\ x_2 + x_3 & x_1 + x_3 & x_1 + x_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

не очень получается понять не посчитав в лоб оба определителя.

[demolishka]

Ну тут, например, можно вычесть третий столбец из первых двух. Для общего случая видимо должны работать похожие соображения.