Симметричн и несимметрич случайное блуждание. Применения

[eugrita]

занимаясь моделированием процессов случайного блуждания в виде моделей типа $X_{i+1}=X_i+k_1$ c вероятностью $p$
и $X_{i+1}=X_i-k_2$ c вероятностью $q=1-p$
я задавался вопросом о применениях этого. Ну понятно ,это т.н. задача о разорении, которую можно рассматривать как игру, с разными правилами и стратегиями (удваивать ставки и проч.). При этом соблюдено условие 0-матожидания или справедливости $p \cdot k_1 -q \cdot k_2=0$
А как насчет процессов гибели и размножения с дискретным временем. Ложится ли рассматриваемая схема в этот класс? И , следовательно применяется ли в биологии?
некто

Цитата:

Б. П. ЗЕЛЕНЦОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРОЦЕССА
РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ ОБЪЕКТОВ

пишет о применимости марковcких цепей к задачам массового обслуживания, но только с непрерывным временем, а у меня - с дискретным.
Короче, может ли кто помочь советами по применению данной схемы. Да хоть в ядерной физике что-ли. Как я понимаю с точки зрения расчета этой схеме "с фиксированными приращениями" соответствует аналогичная схема "с фиксированным дисконтом", т.е. с фиксированными множителями типа
$X_{i+1}=X_i \cdot k_1$ c вероятностью $p$
и $X_{i+1}=X_i \cdot k_2$ c вероятностью $q=1-p$ которая эквивалентна первой после перехода к логарифмам
В каких случаях могут применяться варианты не только с 2 исходами (как выше) с вероятностями $p,q=1-p$ а с несколькими$p_1,p_2,...p_k$ ?

[eugrita]

Ясно также, что это -ветвящийся случайный процесс (двоичное или более ветвление). Интересна литература с подробным изложением теории ветвящихся
процессов применительно или без к этому случаю

[Otta]

Схему гибели-размножения (ветвящийся процесс) с дискретным временем можно найти в учебнике Севастьянова по теории вероятностей, параграф 36. Но это не то же, что случайное блуждание, даже и с дискретным временем. В том виде, как Вы ставите задачу, у Вас именно случайные блуждания. Частный случай цепей Маркова. Не путать с марковскими процессами.

[eugrita]

Ну хорошо, а как же насчет биологии? Хоть в ней я не специалист, но как-то рука не поднимается для описания процесса рождения потомства и смертности притягивать за уши эту схему
а)делением по этапам (хотя в жизни браки и рождения происходят в случайные значения времен)
б)увеличением на фиксированное число $k_1$ или уменьшением на фикcированное $k_2$. Скорее уж доли потомства подчиняются этому закону (мультипликативная модель)

[Otta]

Не поняла Ваш вопрос. Для какой схемы у Вас рука не поднимается?

[eugrita]

Еще раз. Ищу разные примеры интерпретации несимметричного случайного блуждания. каждый параметр модели $p,q=1-p,K$
ставки $k_1,k_2$ надо как-то связать с физическими параметрами.
Если процессы гибели-размножения то как интерпретировать $k_1,,k_2$ ?
Кстати ставки не обязательно $k_1=\frac{1}{p},k_2=\frac{1}{q}$
Да математически если нач.капитал и ставки пропорционально увеличить/уменьшить -игра останется эквивалентной себе.
Если рассматриваем экономику - потоки платежей, то прошу пояснить как и когда можно пользоваться вышеописанной моделью или упомянутой мультипликативной. Слышал в этой связи о дисконтах
Проведите меня за ручку в моделировании прикладных областей.

[eugrita]

вот еще примеры блуждания
$X_{n+1}=X_n \cdot (1-\alpha)$ c вероятн. $p$
$X_{n+1}=\frac{X_n}{1-\alpha}$ c вероятн. $q=1-p$ - может такая форма полезнее для потока платежей?
или такая форма
$X_{n+1}=X_n \cdot (1-\alpha)$ c вероятн. $p$
$X_{n+1}=X_n \cdot (1-\alpha)+S$ c вероятн. $q=1-p $
Правда если принять уровень разорения $X=0$ то разорение недостижимо - надо поднимать нижнюю планку.
можно еще придумать разных форм.
(Всех их объединяет расчет по похожим комбинаторным алгоритмам в основе которых лежит генерация перестановок из 2 групп с одинаковыми элементами в каждой).
Но главный вопрос все тот же - где это реально можно применить кроме игр?

[eugrita]

извините 1-ю формулу неточно написал. Для справедливой игры вот так
$X_{n+1}=X_n \cdot (1-q\alpha)$ с вероятн $p$
$X_{n+1}=X_n \cdot (1+p\alpha)$ с вероятн $q$
например при $\alpha=1,p=q=0.5$получаем игру -бросаем монету
если орел - выигр 50% капитала, если решка - проигр 50% капитала.
(Можно представить что капитал лежит в банке и банк играет с вкладчиком в такую игру)

[eugrita]

А чтобы не думали что это праздное любопытство, привожу компьютерные результаты расчетов процессов блуждания (функции распределения и закона).
Программа умеет больше чем просто рассчитывать - предсказывать скажем последствия при пропорциональных изменениях ставок внутри игры, находить условные распределения и матожидание состояния на несколько этапов вперед, т.е. делать прогнозы. Куда все это применить кроме игр?

[eugrita]

мне все равно не совсем понятна терминология в обл случайных процессов. Поясните если я в чем-то заблуждаюсь.
Когда говорят о процессах гибели размножения практически во всей литературе имеют ввиду марковскую цепь с непрерывным временем и далее стандартные уравнения для стационарных состояний. Это изучают в вузах. В то же время (В.А.ВАтутин Лекционные курсы НОД лекция 8) в классе ветвящихся процессов еще с1940-50 гг выделены процессы Гальтона-Ватсона (и Беллмана-Харриса). Почему-то в классе процессов Гальтона-Ватсона основной упор делается на производящей функции геометрического распределения. т.е. на процессах которых в каждой точке ветвления могут дать любое число потомков. А процессы с ограниченным ветвлением, т.е. модели скажем с максимальным количеством до 2-3-4 потомков как-то не уделено внимание. Ведь вообще все дискретные с..в и марковские цепи в каком-то смысле проще непрерывных -там не надо брать интегралы.
Процессы случайного блуждания очень похожи на эти процессы гибели рождения, в частн простое случайное блуждание это процесс у которого с вероятн $q=1-p$ нет потомков -родитель умирает,$X=-1$ а с вероятн $p$ есть 2 потомка (после смерти скачок вверх $X=1$
Но ветвление может быть не только бинарное но скажем из к-альтернатив.
т.е модель $S_{n+1}=S_n+X_n$ где $Xn=s_1$c вероятн $p_1$...$Xi=s_k$c вероятн $p_k$ $\sum(p_i)=1$
т.е $X_n$ задан производящей функцией $f(z)=\sum{p_i z^{s_i}}$
а само блуждание имеет производящую функцию $f(z)=(\sum{p_i z^{s_i}})^n$
$s_i$ можно интерпретировать и как ставки игры и как кол-во потомков и могут быть и положительные и отрицательные. мат ожидание может быть как равно 0 как и в играх так и нет.
такая схема объединяет в себе и задачи теории игр и гибели-рождения
Наверное можно так же как и у Гальтона-Ватсона провести классификацию процессов на докритические и надкритические.