Бесконечное произведение

[Edward_Tur]

Вычислить:

\[ \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1}{{n^3 }}} \right)} \]

[ddn]

логарифм равен $\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\zeta(3k)=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x}\left(\frac{3}{e^x}+\frac{2\sqrt{3}e^{\frac{x}{2}}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)}{e^x-1}\right)$
пройти далее не представляется возможным.
Формулы без интегралов и бесконечных сумм Вы никогда не получите.

[Edward_Tur]

В формулу Вейершрасса

\[ \frac{1}{{\Gamma \left( {z + 1} \right)}} = e^{Cz} \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)} e^{ - \frac{z}{n}} \]

положим вместо z три значения

\[ \sqrt[3]{{1}} \]

.
Перемножив, получим ответ:

\[ \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1}{{n^3 }}} \right)} = \frac{{\cos \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\pi }}{\pi } = \frac{{e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } + e^{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } }}{{2\pi }} \]

!

[arqady]

Edward_Tur писал(а):

\[ \frac{{e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } + e^{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } }}{{2\pi }} \]

!

Это считается через гамма функцию?

[Edward_Tur]

Да

[azart]

Edward_Tur писал(а):

В формулу Вейершрасса

\[ \frac{1}{{\Gamma \left( {z + 1} \right)}} = e^{Cz} \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)} e^{ - \frac{z}{n}} \]

положим вместо z три значения

\[ \sqrt[3]{{ - 1}} \]

.
Перемножив, получим ответ:

\[ \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1}{{n^3 }}} \right)} = \frac{{\cos \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\pi }}{\pi } = \frac{{e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } + e^{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } }}{{2\pi }} \]

!

Наверное, вместо

\[\sqrt[3]{{ - 1}}\]

следует подставить три значения

\[\sqrt[3]{{ 1}}\]

.