Предел от максимума vs. Максимум от предела

[sup]

Я не очень уверен, что там все "как надо" получится. Все таки замена логарифма на дробь может оказаться грубой. А учет следующих поправок не позволяет вычислить явную сумму. Но это только мне так кажется, утверждать наверняка не могу.
А вот в том представлении, что я написал, уже сравнительно легко получается поточечный предел равный $1-x$. Кроме этого можно приблизительно оценить где достигается максимум $F_n(x)$ и чему примерно равен.

[ex-math]

sup
У меня упорно выходит $\frac12 (1-x) $. Это от первого члена в разложении логарифма, прочие дают нулевой вклад.

[sup]

Я исходил из следующих "правдоподобных" рассуждений.
Все самое интересное происходит при $z << 1$.
А посему
$-\ln (1-z) \approx z$
$(1-z)^{nx} \approx (1-xz)^n$
$(1-z)^{x - 1} \approx e^{z(1-x)}$
Отсюда
$F_n(x) \approx nx\int \limits_0^1 \frac {e^{z(1-x)}-1}{z} (1-xz)^ndz $
$F_n(x) \approx (1-x)n\int \limits_0^1 x(1-xz)^ndz = \frac {n}{n+1}(1-x)(1 - (1-x)^{n+1})$

[ex-math]

Я делал так :

$$nx\int_0^1\left((1-z)^{nx+x-1}-(1-xz)^n\right)\frac{dz}z=nx\int_0^{nx}\left(\left(1-\frac t{nx}\right)^{nx+x-1}-\left(1-\frac tn\right)^n\right)\frac{dt}t.$$

$$\left(1-\frac tn\right)^n=e^{-t}\left(1-\frac{t^2}{2n}+O\left(\frac{t^k}{n^{2}}\right)\right). $$

$$\left(1-\frac t{nx}\right)^{nx+x-1}=e^{-t}\left(1-\frac{x-1}{nx}t-\frac{t^2}{2nx}+O\left(\frac{t^k}{n^2}\right)\right). $$

Подставляем и пользуемся тем, что при $m=1,2$

$$\int_0^{nx}t^me^{-t}dt=1+o(1)$$

.
Это и дает нам $\frac12(1-x) $. Следующий член разложения логарифма дает такой же интеграл, но без $z$ в знаменателе. Он вычисляется точно и стремится к нулю. Наконец, остаток дает интеграл с $z$ в числителе. После такой же замены перед ним уже возникает коэффициент $\frac1n$, так что достаточно оценить скобки как $O(t^ke^{-t}) $.

[ex-math]

Что мне здесь не очень нравится, так это то, что приходится приближать экспоненту при больших $t$, так что постоянные в знаках $O$ тоже могут зависеть от $n$, и не лучшим образом. Но как получше с этими гадкими скобками поступить, не придумал.

[sup]

Да, ситуация странная. Через Г-функцию вроде бы тоже вылезла 1/2. Ну что же. Раз уж "на пальцах" не получается, надо разбираться более строго. Прямо сейчас я уже ни в чем не уверен.

[sup]

Да, в конечном итоге получается именно $\frac {1}{2}(1-x)$
Неточность в моих рассуждениях пряталась в приближенном равенстве
$(1-z)^{nx + x - 1} \approx e^{z(1-x)}(1-xz)^n$
На самом деле надо учитывать и квадратичные члены
$(1-z)^{nx + x - 1} \approx e^{z(1-x) -z^2nx(1-x)/2}(1-xz)^n$
Отмечу, что искомый интеграл можно вычислить явно с помощью В-функции Эйлера. Там, разумеется, тоже появляется 1/2.

[Kenelm]

sup
ex-math
Я правильно понимаю, что в данном случае $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = \frac{1}{2}(1-x)$, а, значит $b = \max\limits_{x}\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = 1/2$ ?
Подскажите, пожалуйста, а в чем ошибка в тех рассуждениях, которые я проделал:

Kenelm в сообщении #890996 писал(а):

$F_n(x) = nx\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i(1-x)^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{x(n+1)}\right)$ ($x\in [0,1]$)

Обозначим $\tau = nx$, $x = \tau/n$. При достаточно большом $n$:
$\tilde{F}_n(\tau) = \tau\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\left(\frac{\tau}{n}\right)^i(1-\frac{\tau}{n})^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

Kenelm в сообщении #891221 писал(а):

Я пробовал использовать предельные теоремы. В частности, сходимость вероятностей Биномиального распределения к вероятностям распределения Пуассона:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\tilde{F}_n(\tau) = \tau\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}e^{-\tau}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

А эта функция является известной и в литературе можно найти факт того, что ее максимум достигается при $\tau \approx 1.34$. Т.е. при параметре $x \rightarrow 0$. Значение $b$ при этом равно $\approx 0.58$.

[sup]

А что Вас удивляет?
Выше было установлено, что для всякого фиксированного $x$ имеет место $F_n(x) \to \frac {1}{2}(1-x)$.
Вы же говорите о случае, когда фиксировано $\tau = nx$. Иными словами, $x$ меняется вместе с $n$. На этот счет ничего не утверждалось.

[Kenelm]

sup
Просто мне казалось, что от замены переменных величина максимума функции не должна меняться... Однако, по видимому, когда речь заходит о пределах это не так?
Вообще говоря, изначально интересует в первую очередь величина $a = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\max\limits_{x}F_n(x)$, просто я не знаю как ее вычислить, поэтому пробовал прибегнуть к "смене" функций предела и максимума.

[sup]

Ну конечно же предел и максимум переставлять просто так нельзя. Вот Вам простейший пример ($\varepsilon \to 0$)
$F_{\varepsilon}(x) = \frac {\varepsilon x}{\varepsilon^2 + x^2}$
Таким образом задача - предел максимума? Ну что же, я уже приводил интегральное представление. Из него, судя по всему, можно вытащить то что надо. Скорее всего это та самая величина $\approx 0.58$.

[Kenelm]

sup
Нет, то, что предел и максимум не всегда можно менять местами, я понимаю, оттого эту тему и создал. :)
Не понятно следующее.

1. Вот я сделал формальное действие - замену переменных при конечном $n$. Максимум функции при этом не должен поменяться. Но максимум от предела, получается, что меняется.

2. Вот я сделал формальное действие - замену переменных при конечном $n$. И при этом максимум от предела и предел от максимума стали совпадать (это я исхожу из Вашей фразы "Скорее всего это та самая величина $\approx 0.58$")?

[demolishka]

Вы же сами делаете замену $x=\frac{\tau}{n}$, а пишете функцию $F_n(\tau)$, в то время как должно быть $F(\frac{\tau}{n})$.
Проделайте аналогичные действия для $F_n(x)=\frac{nx}{n}$ и посмотрите какая гадость получается. А все потому, что у вас все элементы последовательности от разных переменных.

[sup]

Я не нашел 10 отличий в двух Ваших фразах. Посему предложу свой вариант.
В Вашей задаче предел и максимум переставлять нельзя. Максимум предела легко считается и равен 1/2. К слову, достигается он в точке $x=0$, где все функции обращаются в 0 (они, конечно, там не определены, но по непрерывности таки обращаются в 0). Уже это говорит о том, что просто так ничего не переставишь.
Что касается предела максимума, то его надо вычислять. По моим прикидкам максимум $F_n(x)$ достигается в области $\tau = nx < A$ с неким "достаточно большим" $A$. А в этой области вроде бы имеет место формула
$F_n(x) = \tau \int \limits_0^1 \frac{(1-z)^{\tau - 1} - e^{-\tau z}}{|\ln (1-z)|}dz + O(1/n)$
Если я не ошибся, то из этой формулы легко находится максимум и его предел. Разумеется, ничего непосредственно вычислять не нужно. Достаточно убедиться, что ряд Тейлора для этого интеграла совпадает с тем, что Вы указывали.

[Kenelm]

sup
demolishka
Знаете, я, наверное, очень сильно туплю, но я так и не понял: ПОСЛЕ замены переменных (после того, как я перешел от функции $F_n(x)$ к функции $\tilde{F}_n(\tau)$) я могу менять местами предел и максимум (имеется в виду в данном конкретном случае)?